复变函数的洛朗级数展开
洛朗级数是复变函数理论中的重要工具，它允许我们在一个环形区域内表示一个函数，即使该函数在该区域内可能有奇点。与泰勒级数不同，洛朗级数可以包含负幂次项，这使得它能够描述函数在奇点附近的行为。
1. 洛朗级数的基本形式
一个函数的洛朗级数展开具有以下形式：
\[f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n \]
其中：
- \(z_0\) 是展开的中心点。
- \(c_n\) 是洛朗系数，由积分公式决定。
- 这个级数在一个环形区域 \(R_1 < |z - z_0| < R_2\) 内收敛，其中 \(0 \le R_1 < R_2 \le \infty\)。这个环形区域可能不包含中心点 \(z_0\)，因为那里可能是函数的奇点。
2. 洛朗级数的组成部分
我们可以将洛朗级数分解为两个部分：
- 解析部分（主要部分）：\(\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - z_0)^n\)。这部分是一个普通的幂级数，在圆盘 \(|z - z_0| < R_2\) 内收敛，表示函数在 \(z_0\) 附近的解析行为。
- 主要部分（奇异部分）：\(\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n} (z - z_0)^{-n}\)。这部分包含负幂次项，描述了函数在奇点 \(z_0\) 附近的奇异行为。主要部分的存在是洛朗级数与泰勒级数的关键区别。
3. 洛朗级数的收敛区域
洛朗级数在其收敛环 \(R_1 < |z - z_0| < R_2\) 内绝对收敛，且在其任意紧子集上一致收敛。
- \(R_2\) 是内半径，由从 \(z_0\) 到最近的一个使 \(f(z)\) 不解析的点的距离决定（这个点可能是另一个奇点）。
- \(R_1\) 是外半径，通常由 \(z_0\) 本身是奇点这一事实决定（此时 \(R_1 = 0\)），或者由另一个更靠近 \(z_0\) 的奇点决定。
4. 洛朗系数的计算方法
洛朗系数 \(c_n\) 由以下积分公式给出：
\[c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz \]
其中积分路径 \(C\) 是收敛环内任意一条围绕 \(z_0\) 的简单闭合正向曲线。
在实际计算中，我们很少直接使用这个积分公式。更常用的方法是利用已知的几何级数展开或泰勒级数展开，通过代数变形（如部分分式分解）和幂级数运算（如加法、乘法、除法）来求得洛朗级数。
5. 洛朗级数与奇点类型的关系
函数在孤立奇点 \(z_0\) 处的洛朗级数展开直接揭示了该奇点的类型：
- 可去奇点：洛朗级数的主要部分为零（即所有 \(n < 0\) 的系数 \(c_n = 0\)）。级数退化为泰勒级数。
- 极点：主要部分只有有限项非零。如果最高负幂次是 \((z - z_0)^{-m}\)，则称为 m 阶极点。
- 本性奇点：主要部分有无限多项非零。
6. 洛朗级数展开的示例
考虑函数 \(f(z) = \frac{1}{z(z-1)}\)，在区域 \(0 < |z| < 1\) 内展开。
首先进行部分分式分解：
\[f(z) = \frac{1}{z(z-1)} = -\frac{1}{z} + \frac{1}{z-1} \]
对于项 \(\frac{1}{z-1}\)，在区域 \(|z| < 1\)（即 \(|z|/1 < 1\)）内，我们可以将其展开为几何级数：
\[\frac{1}{z-1} = -\frac{1}{1-z} = -\sum_{n=0}^{\infty} z^n \quad (|z| < 1) \]
因此，在环形区域 \(0 < |z| < 1\) 内，函数的洛朗级数为：
\[f(z) = -\frac{1}{z} - \sum_{n=0}^{\infty} z^n = -\frac{1}{z} - 1 - z - z^2 - \cdots \]
这个展开式清楚地显示了函数在 \(z=0\) 处有一个单极点（主要部分只有一项 \(-1/z\)），而在 \(|z| < 1\) 的区域内（除奇点外）是解析的。