代数簇的纤维积 代数簇的纤维积是代数几何中描述两个态射在公共基上的"交集"概念。设我们有代数簇X、Y和S，以及两个态射f: X→S和g: Y→S。它们的纤维积X ×ₛ Y是一个代数簇，带有到X和Y的投影态射，使得图表交换，并且满足泛性质。 具体构造如下：首先考虑X和Y的直积X×Y，然后取子簇{(x,y)∈X×Y | f(x)=g(y)}。这个子簇就是纤维积X ×ₛ Y。投影态射p₁: X ×ₛ Y→X和p₂: X ×ₛ Y→Y分别由(x,y)↦x和(x,y)↦y给出。 纤维积的重要性在于它统一了许多几何概念。例如，当S是单点簇时，纤维积就是普通的直积X×Y。当Y是S的子簇且g是包含映射时，X ×ₛ Y就是f在Y上的拉回，记作f⁻¹(Y)。 纤维积的泛性质是：对任意代数簇Z带有态射h: Z→X和k: Z→Y使得f∘h=g∘k，存在唯一的态射u: Z→X ×ₛ Y使得p₁∘u=h且p₂∘u=k。这个性质唯一确定了纤维积（在同构意义下）。 纤维积的维数关系由维数公式描述：若所有簇都是不可约的，且f和g是支配态射，则dim(X ×ₛ Y) = dim(X) + dim(Y) - dim(S)。这个公式反映了纤维积作为"交集"的直观。 在具体计算中，纤维积可以通过坐标环的张量积来描述。设X、Y、S的坐标环分别为A、B、C，则X ×ₛ Y的坐标环是A ⊗_ C B。这里张量积是相对于由f和g诱导的环同态C→A和C→B来取的。 纤维积的一个重要特例是基变换。给定态射φ: S'→S，我们可以构造X的拉回X_ {S'} = X ×ₛ S'。这允许我们在不同的基上研究簇的性质，是代数几何中常用的技术。