代数簇的正规化 代数簇的正规化是代数几何中通过消除奇点来构造一个与给定代数簇密切相关的“更光滑”的新簇的过程。它的核心思想是将代数簇的局部环升级为整闭环（即正规环），从而简化结构并提升几何性质。以下分步展开： 1. 背景：代数簇的奇点问题 许多代数簇（如曲线 \(y^2 = x^3\)）在原点处存在奇点（例如尖点或自交点），导致该点处的局部环不是整闭环（即不满足“所有在分式域中且满足整性条件的元素均属于该环”）。 奇点会阻碍几何研究的简化（如微积分工具的应用），因此需要一种系统的方法“修复”奇点。 2. 整闭环与正规环 设 \(R\) 是整环，\(K\) 为其分式域。若 \(R\) 在 \(K\) 中整闭（即任何 \(x \in K\) 若满足形如 \(x^n + a_ 1x^{n-1} + \cdots + a_ n = 0\) 的方程，且 \(a_ i \in R\)，则 \(x \in R\)），则称 \(R\) 是 正规环 。 例如：多项式环 \(k[ x]\) 是正规环，但环 \(k[ x^2, x^3 ]\)（对应曲线 \(y^2 = x^3\) 的坐标环）不是，因为 \(y/x \in K\) 满足 \(t^2 - x = 0\) 却不属于该环。 3. 正规化的定义 对于仿射代数簇 \(X = \text{Spec}(A)\)，其中 \(A\) 是整环，其 正规化 是指一个态射 \(\tilde{X} \to X\)，满足： \(\tilde{X}\) 是正规簇（即其所有局部环均为正规环）； 态射是有限双有理态射（即保持分式域且是有限映射）。 具体构造：取 \(A\) 在分式域中的整闭包 \(\tilde{A}\)，则 \(\tilde{X} = \text{Spec}(\tilde{A})\) 即为 \(X\) 的正规化。 4. 几何直观：以曲线为例 考虑奇异曲线 \(C: y^2 = x^3\)。其坐标环 \(A = k[ x, y ] / (y^2 - x^3)\) 不是正规的，因为元素 \(t = y/x\) 满足 \(t^2 = x\) 但 \(t \notin A\)。 添加 \(t\) 得到整闭包 \(\tilde{A} = k[ t ]\)（因 \(x = t^2, y = t^3\)），对应曲线 \(\tilde{C}: \mathbb{A}^1 \to C\)，映射为 \(t \mapsto (t^2, t^3)\)。 新曲线 \(\tilde{C} \cong \mathbb{A}^1\) 是无奇点的直线，原奇点被“拉开”为光滑点。 5. 一般簇的正规化 对于非仿射簇，可通过仿射开覆盖分别正规化，再粘合为整体正规化。 关键性质：正规化是 唯一的 （在同构意义下），且与原簇双有理等价（即它们在稠密开集上同构）。 6. 应用与意义 奇点分解 ：正规化消除了奇点，使得除子理论、上同调等工具可更有效应用。 函数域扩展 ：在数论中，正规化对应代数整数环的构造，如 \(\mathbb{Z}\) 在数域中的整闭包。 模空间理论 ：正规化常用于构造稳定约化或紧化模空间。 通过这一过程，代数簇的正规化将几何对象提升至更规则的状态，同时保留其核心的代数与几何信息。