这个性质使得转移算子在研究不变测度的绝对连续部分时非常有用。

转移算子 在遍历理论中，转移算子是一个将动力系统与泛函分析紧密联系起来的核心工具。它描述了一个动力系统的演化如何作用于定义在其状态空间上的函数。 基本定义 考虑一个概率空间 \((X, \mathcal{B}, \mu)\) 和一个保测变换 \(T: X \to X\)。对于任意一个定义在 \(X\) 上的复值可测函数 \(f\)（通常我们要求 \(f\) 属于某个函数空间，例如 \(L^p(\mu)， 1 \leq p \leq \infty\)），我们可以定义与之对应的 转移算子 （或称 佩龙-弗罗贝尼乌斯算子 ）\(U_ T\) 如下： \[ (U_ T f)(x) = f(Tx) \] 这个算子的作用可以理解为：新函数 \(U_ T f\) 在点 \(x\) 处的值，等于原函数 \(f\) 在变换后的点 \(Tx\) 处的值。它描述了系统在时间上演化一步（即应用一次变换 \(T\)）时，观测量 \(f\) 所发生的变化。 算子的性质 转移算子 \(U_ T\) 具有一些非常重要的性质： 线性 ：对于任意函数 \(f, g\) 和标量 \(\alpha, \beta\)，有 \(U_ T(\alpha f + \beta g) = \alpha U_ T f + \beta U_ T g\)。 保范性（在 \(L^2\) 空间中） ：如果 \(T\) 是保测变换，那么 \(U_ T\) 是希尔伯特空间 \(L^2(\mu)\) 上的一个 等距算子 。这意味着对于任意 \(f \in L^2(\mu)\)，有 \(\|U_ T f\|_ 2 = \|f\|_ 2\)。如果 \(T\) 还是可逆的，且 \(T^{-1}\) 也是保测的，那么 \(U_ T\) 则是一个 酉算子 。 正性 ：如果函数 \(f\) 是非负的（即 \(f \geq 0\)），那么 \(U_ T f\) 也是非负的。 与遍历性的联系 转移算子是表述和研究遍历定理的有力工具。例如，著名的 冯·诺依曼平均遍历定理 和 伯克霍夫平均遍历定理 都可以用转移算子来简洁地重述。 冯·诺依曼定理指出，在 \(L^2(\mu)\) 中，函数的时间平均 \( \frac{1}{n} \sum_ {k=0}^{n-1} U_ T^k f \) 强收敛于到 \(U_ T\)-不变函数子空间上的正交投影 \(P f\)。 系统的遍历性（即 \(T\) 是遍历的）等价于说，常数函数是 \(U_ T\) 唯一的（在几乎处处意义下）不变函数。也就是说，如果 \(U_ T f = f\)，那么 \(f\) 必然是一个常数函数。 对偶算子与绝对连续测度 转移算子 \(U_ T\) 在对偶意义上作用于测度空间。考虑一个相对于 \(\mu\) 绝对连续的测度 \(\nu\)（即 \(\nu \ll \mu\)），设其拉东-尼科迪姆导数为 \(g = d\nu / d\mu\)。那么，在经过变换 \(T\) 推前之后的新测度 \(T_* \nu\)（定义为 \(T_* \nu(A) = \nu(T^{-1}A)\)）的拉东-尼科迪姆导数为 \(U_ T g\)。即： \[ \frac{d(T_* \nu)}{d\mu} = U_ T \left( \frac{d\nu}{d\mu} \right) \] 这个性质使得转移算子在研究不变测度的绝对连续部分时非常有用。 谱理论 由于 \(U_ T\) 是希尔伯特空间 \(L^2(\mu)\) 上的一个有界线性算子，我们可以研究它的 谱 。算子 \(U_ T\) 的谱性质与动力系统的诸多渐近性质（如混合性、弱混合性）有着深刻的联系。例如： \(T\) 是遍历的当且仅当 \(1\) 是 \(U_ T\) 的简单特征值。 \(T\) 是弱混合的当且仅当 \(1\) 是 \(U_ T\) 的唯一特征值，且是简单的。 \(T\) 是混合的蕴含着 \(U_ T\) 具有连续的谱。 通过研究转移算子，我们可以将动力系统的动力学问题转化为线性算子的分析问题，从而能够运用泛函分析中强大的工具来研究系统的长期行为。