量子力学中的Wick符号排序
我将为您详细讲解量子力学中的Wick符号排序（Wick symbol ordering），这是一个在量子场论和量子多体理论中非常重要的数学工具。
第一步：基本概念与问题起源
Wick符号排序（也称为正规排序）是一种将算符乘积重新排列的规则。其核心思想是：在一个包含产生算符和湮灭算符的乘积中，将所有产生算符放在所有湮灭算符的左边。
为什么要这样做？在量子力学中，特别是二次量子化形式下，基本算符是产生算符 \(a^\dagger\) 和湮灭算符 \(a\)。它们满足对易关系（玻色子）或反对易关系（费米子）。当我们计算算符的期望值，特别是基态（真空态）期望值时，由于湮灭算符作用在真空态上给出零（\(a|0\rangle = 0\)），如果所有产生算符都在右边，整个算符作用在真空态上就会得到零。Wick排序通过重新排列算符，使得计算大为简化。
第二步：基本定义与记号
设 \(a\) 是湮灭算符，\(a^\dagger\) 是产生算符。Wick符号排序操作记为 \(N[\cdot]\)。
对于一个算符的乘积，Wick排序定义为：
\[N[a^\dagger a] = a^\dagger a \]
\[ N[a a^\dagger] = a^\dagger a \]
\[ N[a a] = a a \]
\[ N[a^\dagger a^\dagger] = a^\dagger a^\dagger \]
更一般地，对于多个算符的乘积，Wick排序 \(N[A B C \cdots]\) 就是将乘积中的所有产生算符 \(a^\dagger\) 移动到所有湮灭算符 \(a\) 的左边，同时保持玻色子算符之间相对顺序不变（对费米子则需要考虑引入一个符号因子）。
第三步：Wick定理的核心内容
Wick定理建立了普通算符乘积与Wick排序算符乘积之间的关系。它是微扰量子场论中费曼图展开的算符基础。
定理表述：一组玻色场算符 \(\phi_1, \phi_2, \cdots, \phi_n\) 的时序乘积 \(T[\phi_1 \phi_2 \cdots \phi_n]\) 等于这些算符的所有可能的Wick收缩之和的Wick排序：
\[T[\phi_1 \phi_2 \cdots \phi_n] = N[\phi_1 \phi_2 \cdots \phi_n + \text{所有可能的收缩}] \]
这里需要理解两个关键概念：
- 时序乘积（T-product）：将算符按时间顺序排列，时间晚的算符放在左边。
- 收缩（Contraction）：两个算符的收缩定义为它们的时序乘积与正规乘积之差：\(\contraction{}{\phi}{{}_i}{\phi} \phi_i \phi_j = T[\phi_i \phi_j] - N[\phi_i \phi_j]\)。对于自由场，收缩是一个c数（而不是算符），等于这两个算符的Feynman传播子。
第四步：具体计算示例
考虑两个算符的情况。根据定义，我们有：
\[T[\phi_1 \phi_2] = N[\phi_1 \phi_2] + \contraction{}{\phi}{{}_1}{\phi} \phi_1 \phi_2 \]
其中 \(\contraction{}{\phi}{{}_1}{\phi} \phi_1 \phi_2\) 是 \(\phi_1\) 和 \(\phi_2\) 的收缩。
对于四个算符的情况：
\[T[\phi_1 \phi_2 \phi_3 \phi_4] = N[\phi_1 \phi_2 \phi_3 \phi_4] + N[\text{所有单收缩}] + N[\text{所有双收缩}] \]
具体来说，包括无收缩项、所有可能的单收缩项（如 \(\contraction{}{\phi}{{}_1}{\phi} \phi_1 \phi_2 N[\phi_3 \phi_4]\) 等）和所有可能的双收缩项。
第五步：在量子力学中的应用意义
Wick符号排序和Wick定理在量子力学和量子场论中有多方面重要应用：
- 简化计算：在计算散射振幅、关联函数时，Wick定理将复杂的算符乘积分解为c数（传播子）和正规排序算符的乘积。
- 微扰展开的基础：它是费曼图技术的算符表述，每个收缩对应一个传播子线，每个正规排序的算符对应顶点。
- 真空期望值：由于正规排序算符的真空期望值为零，只有全收缩项（所有算符都配对收缩）对真空期望值有贡献。
- 量子光学：在量子光学中，正规排序用于计算光场的相关函数和光子统计性质。