代数簇的凝聚层 代数几何中，凝聚层是研究代数簇的重要工具，它统一了函数、向量丛、微分形式等几何对象，并允许使用上同调方法进行系统研究。 第一步：层的概念回顾与推广 层是一个将代数簇的每个开集对应到一组数据（如函数）的数学结构，并满足局部定义与整体拼接的性质。在代数簇的Zariski拓扑中，我们考虑代数函数层，但其函数性质受限。为处理更一般的几何对象，需推广到模层——即每个开集上的数据不仅是一个集合，而是一个环上的模。 第二步：环层空间与模层的定义 一个环层空间（如代数簇）配备了一个环层（如函数层）。一个模层是该环层上的模：对每个开集，截面构成一个环层截面环上的模，且限制映射是模同态。例如，代数簇上的向量丛对应其截面层是局部自由模层。 第三步：凝聚层的定义 凝聚层是满足有限性条件的模层： 局部有限生成：每点有邻域，模层在该邻域由有限个截面生成。 有限生成子层的核仍有限生成：对任意模层同态从有限生成自由模层到该模层，其核在每点邻域上有限生成。 在诺特概形（如代数簇）上，该条件等价于模层局部同构于有限生成模的层化。 第四步：凝聚层的例子与性质 结构层（函数层）是凝聚层。 向量丛的截面层是凝聚层（实为局部自由层）。 理想层（定义子簇）是凝聚层。 凝聚层的核、余核、扩张在有限表现条件下保持凝聚性。 第五步：凝聚层的上同调 凝聚层的上同调群是研究代数簇的重要不变量，如塞雷对偶定理将上同调与线性形式关联。在射影代数簇上，凝聚层的上同调是有限维向量空间，且高阶上同调在足够大扭曲后消失（塞尔定理）。 第六步：应用与推广 凝聚层允许定义代数簇的欧拉特征标、黎曼-罗赫定理的推广，并与导出范畴理论结合，成为现代代数几何的核心语言。