代数簇的稳定性 代数簇的稳定性是几何不变量理论（GIT）中的核心概念，用于研究群作用下的商空间构造。以下从基础概念逐步展开： 群作用与轨道 设代数群 \( G \)（如 \( \mathrm{GL}(n) \)）作用在代数簇 \( X \) 上。对于点 \( x \in X \)，其轨道 \( G \cdot x \) 是 \( X \) 的子集。稳定性问题关注轨道的几何性质，例如是否闭合、是否存在极限点。 不稳定点与稳定性定义 若存在点 \( y \notin G \cdot x \) 使得 \( y \in \overline{G \cdot x} \)（轨道的闭包），则 \( x \) 称为 不稳定点 。这类点的轨道闭包包含其他轨道，导致商空间 \( X/G \) 的几何结构不分离。 稳定点 ：若轨道 \( G \cdot x \) 在 \( X \) 中闭合，且 \( G \) 在 \( x \) 处的稳定子群有限。此时轨道在商空间中对应良定的点。 半稳定点 ：若轨道闭包 \( \overline{G \cdot x} \) 不包含不稳定点（即零元轨道）。半稳定点允许非闭合轨道，但可通过商空间构造分离。 数值判据：Hilbert-Mumford准则 通过单参数子群 \( \lambda: \mathbb{G} m \to G \) 检验稳定性。对点 \( x \)，若对所有非平凡 \( \lambda \)，极限 \( \lim {t \to 0} \lambda(t) \cdot x \) 存在且不在 \( G \cdot x \) 中，则 \( x \) 不稳定。 具体地，若存在 \( \lambda \) 使得 \( \mu(x, \lambda) > 0 \)（其中 \( \mu \) 是Mumford权），则 \( x \) 不稳定；若对所有 \( \lambda \) 有 \( \mu(x, \lambda) \leq 0 \)，则半稳定；若严格小于零，则稳定。 几何应用：模空间的构造 稳定性是构造模空间（如向量丛模空间）的关键。通过剔除不稳定点，商空间 \( X^{\mathrm{ss}}/G \) 成为拟射影簇，其点对应几何对象的等价类（如稳定向量丛）。 推广：多项式不变性与GIT商 利用 \( G \) 不变的多项式函数区分轨道，半稳定点恰好可由某个不变多项式非零区分。GIT商 \( X/\!/G \) 定义为仿射商 \( \mathrm{Spec}(k[ X ]^G) \) 在半稳定点集上的限制，保证商空间的紧致性与分离性。 通过这一框架，稳定性将代数群作用下的轨道几何转化为可计算的数值条件，为模空间理论提供严密基础。