博雷尔-σ-代数 在实变函数中， 博雷尔-σ-代数 是定义在拓扑空间（如实数轴 \(\mathbb{R}\)）上的一类重要σ-代数，它由所有开集（或等价地，所有闭集）生成。下面逐步展开其核心内容。 1. σ-代数的基本概念回顾 σ-代数 是集合 \(X\) 的子集族 \(\mathcal{F}\)，满足： \(X \in \mathcal{F}\)； 若 \(A \in \mathcal{F}\)，则其补集 \(A^c \in \mathcal{F}\)； 对可数多个集合 \(A_ 1, A_ 2, \dots \in \mathcal{F}\)，它们的并集 \(\bigcup_ {i=1}^\infty A_ i \in \mathcal{F}\)。 可测空间 \((X, \mathcal{F})\) 是σ-代数的具体实例。 2. 博雷尔-σ-代数的生成方式 设 \(X\) 为拓扑空间（如 \(\mathbb{R}\) 配备标准拓扑），其所有开集构成族 \(\mathcal{T}\)。 博雷尔-σ-代数 \(\mathcal{B}(X)\) 是包含 \(\mathcal{T}\) 的最小σ-代数，即： \[ \mathcal{B}(X) = \sigma(\mathcal{T}). \] 等价地，\(\mathcal{B}(X)\) 也可由所有闭集生成（因为闭集是开集的补集）。 3. 实数轴上的博雷尔集示例 在 \(\mathbb{R}\) 中，博雷尔集包括： 开区间 \((a, b)\)、 闭区间 \([ a, b]\)、 半开区间 \( [ a, b)\) 等； 单点集 \(\{a\}\)（可视为闭集或可数个开区间的交）； 有理数集 \(\mathbb{Q}\)（可数多个单点集的并）； 无理数集 \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\)（有理数集的补集）。 4. 博雷尔集的层级结构（博雷尔分层） 博雷尔集可按复杂度分层： Σ₁⁰ ：所有开集； Π₁⁰ ：所有闭集； Σ₂⁰ ：可数个闭集的并（\(F_ \sigma\) 集）； Π₂⁰ ：可数个开集的交（\(G_ \delta\) 集）； 依此类推，通过可数并、交运算递推至超限层级。 所有博雷尔集是这一分层中某个可数序数层级上的集合。 5. 博雷尔-σ-代数与测度的关系 博雷尔测度 是定义在 \(\mathcal{B}(X)\) 上的测度，例如 \(\mathbb{R}\) 上的勒贝格测度限制在 \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) 上。 博雷尔集是勒贝格可测的，但存在勒贝格可测集不是博雷尔集（如维塔利集），说明 \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) 是勒贝格σ-代数的真子集。 6. 博雷尔-σ-代数的泛性质 若 \(f: X \to Y\) 是拓扑空间之间的连续映射，则 \(f\) 是 博雷尔可测的 （即对 \(Y\) 的任意博雷尔集 \(B\)，原像 \(f^{-1}(B)\) 是 \(X\) 的博雷尔集）。 这一性质使得博雷尔-σ-代数成为研究函数可测性的自然框架。 7. 与其他概念的联系 博雷尔函数 ：博雷尔-σ-代数上的可测函数，包含所有连续函数、分段连续函数及更复杂的函数（如狄利克雷函数在有理点修改的版本）。 正则性 ：在局部紧豪斯多夫空间（如 \(\mathbb{R}^n\)）上，博雷尔测度常具有正则性（近似由紧集从内、开集从外逼近）。 通过以上步骤，博雷尔-σ-代数的生成、结构、性质及其在测度论中的核心地位得以清晰展现。