量子力学中的Floquet哈密顿量 我们先从周期性驱动量子系统的基本概念开始。在量子力学中，当系统的哈密顿量 \( \hat{H}(t) \) 是时间的周期函数，即存在一个周期 \( T \) 使得 \( \hat{H}(t+T) = \hat{H}(t) \) 时，该系统被称为周期性驱动系统或Floquet系统。处理此类系统的核心数学方法之一就是引入Floquet哈密顿量的概念。 第一步，我们回顾含时薛定谔方程：\( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H}(t) |\psi(t)\rangle \)。根据Floquet定理，这个方程的解可以写成一个周期性函数与一个相位因子的乘积形式：\( |\psi_ \alpha(t)\rangle = e^{-i \epsilon_ \alpha t / \hbar} |u_ \alpha(t)\rangle \)。这里，\( |u_ \alpha(t)\rangle \) 是与哈密顿量同周期的周期性函数，即 \( |u_ \alpha(t+T)\rangle = |u_ \alpha(t)\rangle \)。量 \( \epsilon_ \alpha \) 被称为Floquet拟能（或准能量），它类似于静态系统中的能量。 第二步，我们将上述解的形式代入含时薛定谔方程。通过计算导数 \( \frac{\partial}{\partial t} |\psi_ \alpha(t)\rangle \)，并利用薛定谔方程，我们可以推导出关于周期性部分 \( |u_ \alpha(t)\rangle \) 的方程：\( \left[ \hat{H}(t) - i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \right] |u_ \alpha(t)\rangle = \epsilon_ \alpha |u_ \alpha(t)\rangle \)。这个方程是理解Floquet哈密顿量的关键。 第三步，我们定义Floquet哈密顿量。观察上面的方程，我们将其中的算符 \( \hat{H}_ F = \hat{H}(t) - i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \) 称为Floquet哈密顿量。这个算符作用在一个扩展的希尔伯特空间上，即原始系统的希尔伯特空间与时间周期函数空间（在区间 [ 0, T) 上满足周期性边界条件）的张量积。在这个扩展空间中，Floquet哈密顿量 \( \hat{H}_ F \) 是一个与时间无关的算符。 第四步，我们探讨Floquet哈密顿量的谱问题。方程 \( \hat{H} F |u \alpha(t)\rangle = \epsilon_ \alpha |u_ \alpha(t)\rangle \) 现在构成了一个本征值问题。由于 \( |u_ \alpha(t)\rangle \) 的周期性，这个本征值问题定义在一个环面（时间周期）上。Floquet拟能 \( \epsilon_ \alpha \) 的谱决定了系统的长期演化行为。重要的是，拟能只在布里渊区内有定义，即 \( \epsilon_ \alpha \) 和 \( \epsilon_ \alpha + n\hbar\omega \)（其中 \( \omega = 2\pi/T \)，n为整数）描述的是同一个物理状态，这类似于晶格中的动量空间。 第五步，我们分析Floquet哈密顿量的物理意义。Floquet哈密顿量 \( \hat{H} F \) 可以被看作是原周期性驱动系统在一个更高维空间（扩展的希尔伯特空间）中的有效静态哈密顿量。系统的时间演化算符 \( \hat{U}(t, t_ 0) \) 在一个周期上的行为，即Floquet算符 \( \hat{U}(T, 0) \)，其本征值由拟能决定：\( \hat{U}(T, 0) |u \alpha(0)\rangle = e^{-i \epsilon_ \alpha T / \hbar} |u_ \alpha(0)\rangle \)。因此，研究Floquet哈密顿量的本征态和本征值，等价于研究系统在周期驱动下的稳定态（Floquet态）及其准能量。 最后，我们讨论其应用。Floquet哈密顿量的框架使得我们可以将用于静态系统的许多量子力学工具应用于周期性驱动系统，例如微扰论和布洛赫理论的思想。这在研究光与物质相互作用（如原子在强激光场中）、周期性驱动的量子材料（Floquet拓扑绝缘体）以及量子控制等领域至关重要，因为它提供了一个强大的方法来计算和理解系统的有效长期动力学和拓扑性质。