我们开始讲 伪微分算子（Pseudodifferential Operators） 。 第一步：从微分算子出发 在数学分析中，一个常系数线性微分算子形如 \[ P(D) = \sum_ {|\alpha| \le m} a_ \alpha D^\alpha, \] 其中 \( D^\alpha = (-i\partial_ x)^\alpha \)（这里引入 \(-i\) 是为了让傅里叶变换更整洁），系数 \(a_ \alpha\) 是常数。 这类算子作用在函数 \(u(x)\) 上就是求偏导的线性组合。 第二步：傅里叶变换下的视角 对函数 \(u(x)\) 做傅里叶变换 \(\hat u(\xi)\)，我们知道： \[ \widehat{D^\alpha u}(\xi) = \xi^\alpha \hat u(\xi). \] 因此，微分算子 \(P(D)\) 在傅里叶域的作用是 乘以多项式 \(P(\xi)\)： \[ \widehat{P(D) u}(\xi) = P(\xi) \hat u(\xi). \] 换句话说，\(P(D)\) 是傅里叶乘子（乘子符号为 \(P(\xi)\)）。 第三步：走向变系数情形 若系数 \(a_ \alpha\) 依赖于 \(x\)，即 \(P(x,D) = \sum_ {|\alpha|\le m} a_ \alpha(x) D^\alpha\)，傅里叶变换不能直接对角化，因为系数与 \(x\) 有关会与卷积（频域的乘积）交错。 但我们可以形式化地写出： \[ P(x,D) u(x) = (2\pi)^{-n} \int e^{i x\cdot \xi} P(x,\xi) \hat u(\xi) \, d\xi. \] 这里 \(P(x,\xi) = \sum_ {|\alpha|\le m} a_ \alpha(x) \xi^\alpha\) 称为 象征（symbol） 。 第四步：伪微分算子的定义思路 伪微分算子将上述思想推广：允许象征 \(a(x,\xi)\) 不一定是多项式，而是一类更一般的函数，并且定义 \[ (a(X,D) u)(x) := (2\pi)^{-n} \int_ {\mathbb{R}^n} e^{i x\cdot \xi} a(x,\xi) \hat u(\xi) \, d\xi. \] 但为了避免总要先做傅里叶变换再逆变换，常写成 振荡积分 形式： \[ (a(X,D) u)(x) = (2\pi)^{-n} \iint e^{i (x-y)\cdot \xi} a(x,\xi) u(y) \, dy \, d\xi. \] （这里积分顺序与含义需用振荡积分理论严格处理。） 第五步：象征类 \(S^m\) 为了确保积分有意义并且有良好的分析性质，通常要求 \(a(x,\xi)\) 属于 Hörmander 类 \(S^m_ {1,0}\)： 对任意多重指标 \(\alpha,\beta\)，有估计 \[ |\partial_ x^\beta \partial_ \xi^\alpha a(x,\xi)| \le C_ {\alpha,\beta} (1+|\xi|)^{m-|\alpha|}. \] 这里 \(m \in \mathbb{R}\) 称为象征的阶。当 \(a(x,\xi)\) 是 \(\xi\) 的多项式且阶为 \(m\)（微分算子情形）时，就满足这个估计。 第六步：主要性质 微分算子都是伪微分算子 （多项式象征）。 伪微分算子构成一个代数 ：可以复合，复合算子的象征有渐近展开： \[ a \circ b \sim \sum_ {\alpha} \frac{i^{|\alpha|}}{\alpha!} (\partial_ \xi^\alpha a)(\partial_ x^\alpha b). \] 椭圆伪微分算子 （主象征可逆）可构造近似逆（参量化），这是椭圆正则性理论的核心。 第七步：与奇异积分算子的关系 当 \(m=0\) 时，伪微分算子是有界算子 \(L^2 \to L^2\)（Calderón–Vaillancourt 定理），并且与奇异积分算子（如 Hilbert 变换）紧密相关——实际上奇异积分算子是象征阶为 0 的典型例子。 第八步：应用 伪微分算子在偏微分方程理论中极为重要： 用于证明椭圆算子的正则性（如果 \(Pu = f\) 且 \(f\) 光滑，则 \(u\) 光滑）。 用于构造近似逆（在波前集分析中）。 推广到傅里叶积分算子，用于研究双曲型（波动）方程的解。 它在指标定理（Atiyah–Singer）的证明中也扮演关键角色，因为证明中需要处理非微分算子的拟逆。