代数群 代数群是代数几何与群论的交叉领域中的重要研究对象。它是在代数簇结构上赋予群结构，并且群运算（乘法与取逆）都是代数簇的态射。我们将从基本定义出发，逐步介绍代数群的核心概念、例子、分类与表示理论。 基本定义 一个代数群 \( G \) 是一个代数簇，同时配备群结构，使得乘法映射 \( \mu: G \times G \to G \)（即 \( (g, h) \mapsto gh \)）和取逆映射 \( \iota: G \to G \)（即 \( g \mapsto g^{-1} \)）都是代数簇的态射（即多项式映射或有理函数映射）。若 \( G \) 作为代数簇是仿射的、射影的或一般的，则分别称为仿射代数群、阿贝尔簇（射影情形）或一般代数群。仿射代数群与李群有紧密联系，但定义在代数闭域上（如复数域 \( \mathbb{C} \) 或有限域）。 关键例子 加法群 \( \mathbb{G}_ a \) ：作为代数簇是仿射直线 \( \mathbb{A}^1 \)，群运算为普通加法。即 \( \mathbb{G}_ a(k) = k \)（k 为基域），乘法映射为 \( (x, y) \mapsto x+y \)（线性函数）。 乘法群 \( \mathbb{G}_ m \) ：作为代数簇是仿射直线去掉原点 \( \mathbb{A}^1 \setminus \{0\} \)，同构于双曲线 \( \{ (x, y) \mid xy = 1 \} \)。群运算为乘法：\( \mathbb{G}_ m(k) = k^\times \)，乘法映射为 \( (x, y) \mapsto xy \)。 一般线性群 \( GL_ n \) ：作为代数簇是 \( \mathbb{A}^{n^2} \) 中满足 \( \det(g) \neq 0 \) 的点集，可嵌入为 \( \mathbb{A}^{n^2+1} \) 中由方程 \( \det(g) \cdot t = 1 \) 定义的闭子簇。群运算为矩阵乘法，是仿射代数群的典型例子。 特殊线性群 \( SL_ n \) ：由 \( \det(g) = 1 \) 定义的 \( GL_ n \) 的闭子群，也是仿射代数群。 代数群的同态与子群 代数群同态 \( \phi: G \to H \) 是群同态且为代数簇态射。若同态是双射且逆也是态射，则称为同构。 子群 \( H \subset G \) 若在群运算下封闭且是闭子簇，则称为闭子群（如 \( SL_ n \subset GL_ n \)）。闭子群自身也是代数群。 代数群的李代数 在特征零的域上，代数群 \( G \) 在单位元 \( e \) 处的切空间 \( T_ eG \) 可赋予李代数结构，李括号由群的交换子诱导。例如： \( GL_ n \) 的李代数为 \( \mathfrak{gl}_ n \)（所有 \( n \times n \) 矩阵），李括号为 \( [ X, Y ] = XY - YX \)。 李代数编码了群的局部结构，且代数群同态诱导李代数同态。 代数群的分类与结构定理 连通代数群 ：若代数簇 \( G \) 连通，则称为连通代数群。仿射连通代数群有列维分解：存在极大连通可解正规闭子群 \( R(G) \)（根），使得商群 \( G/R(G) \) 是半单的（即无非平凡连通可解正规闭子群）。 半单代数群 ：可进一步分解为几乎单群（单李代数的对应群）的积，如 \( SL_ n \)、\( SO_ n \) 等。其分类由邓肯图（Dynkin diagrams）描述，与复半单李代数分类平行。 阿贝尔簇 ：射影连通代数群必为阿贝尔群（即群运算交换），称为阿贝尔簇，是代数几何中研究椭圆曲线和高维类似物的基础。 表示理论 代数群 \( G \) 的表示是同态 \( \rho: G \to GL(V) \)，其中 \( V \) 是有限维向量空间（称为表示空间）。若 \( \rho \) 是态射，则称为有理表示。例如： \( GL_ n \) 的标准表示是 \( V = k^n \)，作用为矩阵乘法。 半单代数群的有限维有理表示可由最高权分类，权由极大环面（同构于 \( \mathbb{G}_ m^n \) 的闭子群）的特征标描述。 与数论和物理的联系 代数群在朗兰兹纲领中核心地位（自守形式与表示论），也在规范场论（如杨-米尔斯理论）中作为对称群出现。有限域上的代数群则用于构造有限单群和编码理论。 通过以上步骤，我们涵盖了代数群从定义到前沿应用的基本框架。这一理论融合了代数几何、李群与表示论，是现代数学的支柱之一。