索末菲衍射理论
索末菲衍射理论是波动光学中一种严格处理衍射问题的数学物理框架，它基于波动方程和格林函数方法，为光的衍射提供了比基尔霍夫衍射理论更为严谨的数学基础。下面我们循序渐进地学习其核心概念和推导过程。
步骤1：理论基础——标量波动方程和格林定理
首先，我们假设光波可以用一个标量场 \(u(\mathbf{r}, t)\) 来描述（这忽略了光的矢量性质，但在许多情况下是很好的近似）。单色光（频率为 \(\omega\)）的复振幅满足亥姆霍兹方程：
\[(\nabla^2 + k^2) u(\mathbf{r}) = 0 \]
其中 \(k = \omega/c\) 是波数。索末菲理论的核心是应用格林第二恒等式来解决这个方程。该恒等式将体积分与面积分联系起来：对于任意两个在体积 \(V\) 内二次连续可微的函数 \(\phi\) 和 \(\psi\)，有
\[\iiint_V (\phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi) dV = \oiint_{\partial V} (\phi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}) dS \]
这里 \(\partial V\) 是体积 \(V\) 的边界曲面，\(\partial / \partial n\) 是沿曲面外法向的导数。
步骤2：引入格林函数
为了求解亥姆霍兹方程，我们选择一个特定的函数作为 \(\psi\)：自由空间的格林函数 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')\)。它代表位于点 \(\mathbf{r}'\) 的单位点源在点 \(\mathbf{r}\) 产生的场，满足方程：
\[(\nabla^2 + k^2) G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = -\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \]
其解为出射球面波：\(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{e^{ikR}}{4\pi R}\)，其中 \(R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|\)。在格林恒等式中，令 \(\phi = u(\mathbf{r})\)（待求的光场），\(\psi = G(\mathbf{r}, \mathbf{r}')\)。通过数学推导，我们可以将空间任意点 \(\mathbf{r}_0\) 的场 \(u(\mathbf{r}_0)\) 表示为边界曲面 \(\partial V\) 上的积分：
\[u(\mathbf{r}_0) = \oiint_{\partial V} \left[ G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) \frac{\partial u(\mathbf{r})}{\partial n} - u(\mathbf{r}) \frac{\partial G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0)}{\partial n} \right] dS \]
这个公式表明，空间中的光场完全由其在边界上的值及其法向导数决定。这就是解决衍射问题的出发点。
步骤3：构建严格的衍射模型——半平面与索末菲辐射条件
基尔霍夫理论直接应用此公式到屏幕上的一个开口，但需要对边界值进行近似假设（如屏上场为零），这在数学上是不自洽的。索末菲的突破在于通过巧妙的边界选择来避免这些假设。
他考虑一个无限大的理想刚性屏幕（假设是无限薄的理想导体平面），屏幕上有一个开口（例如，一个孔或半平面边缘）。关键步骤是：
- 选择积分曲面 \(\partial V\)：它由三部分组成：a) 紧贴屏幕后方的平面（包含开口），b) 一个以观察点为球心、半径趋于无穷大的半球壳，c) 一个围绕奇点的小球面。
- 应用索末菲辐射条件：该条件确保在无穷远处的半球壳上，场 \(u\) 和格林函数 \(G\) 都表现为出射球面波，使得该部分的面积分贡献为零。
- 围绕奇点的小球面贡献恰好给出 \(u(\mathbf{r}_0)\)。
- 最终，场 \(u(\mathbf{r}_0)\) 的表达式简化为仅对屏幕平面（包含开口）的积分。
步骤4：索末菲公式与基尔霍夫公式的比较
通过上述严格的边界设置，索末菲得到了两种不同的、数学上严谨的解，分别对应不同的边界条件：
- 第一种索末菲解：假设屏幕是理想导体的刚性边界，在屏幕平面（除开口外）上，场的法向导数为零（\(\partial u / \partial n = 0\)）。此时的衍射公式为：
\[ u(\mathbf{r}_0) = \iint_{\text{开口}} u(\mathbf{r}) \frac{\partial G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0)}{\partial n} dS \]
- 第二种索末菲解：假设在屏幕平面（除开口外）上，场本身为零（\(u = 0\)）。此时的衍射公式为：
\[ u(\mathbf{r}_0) = \iint_{\text{开口}} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) \frac{\partial u(\mathbf{r})}{\partial n} dS \]
而基尔霍夫理论同时假设了屏上 \(u=0\) 和 \(\partial u / \partial n=0\)，这在物理上矛盾（违反了柯西-黎曼方程所暗示的解析函数性质）。索末菲的两种解虽然边界条件不同，但在开口尺寸远大于波长时，对远场衍射图样的预测与基尔霍夫理论和实验都非常吻合，且数学上更严谨。
步骤5：应用与意义——以半平面衍射为例
索末菲理论最著名的应用之一是精确求解了半平面衍射问题（即夫琅禾费衍射的一种严格解）。通过使用复变函数和索末菲-库默尔变换等技巧，他得到了一个用菲涅尔积分表示的精确解析解。这个解能够完美描述几何阴影边界附近光的强度分布，包括衍射条纹，而无需任何近似。这彰显了该理论在处理边缘衍射等复杂问题上的强大能力。
总结
索末菲衍射理论通过将衍射问题严格地建模为波动方程在特定边界条件下的边值问题，并巧妙地运用格林函数和辐射条件，克服了基尔霍夫理论的内在矛盾。它不仅为衍射现象提供了坚实的数学物理基础，其发展的数学工具（如索末菲积分、辐射条件）也对后续的电磁理论、量子力学和声学等领域产生了深远影响。