马尔可夫链的遍历理论 基本定义回顾与马尔可夫链的特殊性 首先，我们回顾一个“保测动力系统”是一个四元组 (X, B, μ, T) ，其中 T 是一个“可测变换”且保持测度 μ 。马尔可夫链可以嵌入到这个框架中，但其状态空间和变换具有特殊的结构。 考虑一个在有限或可数状态空间 S 上的时齐次马尔可夫链。其“动力系统”的相空间 X 由所有可能的轨道（即序列 (x_0, x_1, x_2, ...) ，其中每个 x_i ∈ S ）构成。变换 T 是移位算子： T(x_0, x_1, x_2, ...) = (x_1, x_2, x_3, ...) 。系统的测度 μ 则由马尔可夫链的转移概率和初始分布共同决定。这使得马尔可夫链成为一个具有特定统计规律的“保测动力系统”。 不变测度与平稳分布 对于一个马尔可夫链，其“保测变换”所保持的测度 μ 在轨道空间上的表现，与链的“平稳分布”概念紧密相关。 具体来说，如果概率分布 π 是马尔可夫链的平稳分布（即满足 π = πP ，其中 P 是转移概率矩阵），那么由 π 作为初始分布所诱导出的轨道空间上的测度 μ_π ，在移位变换 T 下是不变的。也就是说， (X, B, μ_π, T) 构成了一个保测动力系统。这个 μ_π 就是我们遍历理论框架下的“不变测度”。 不可约性与遍历性 在马尔可夫链的语境下，我们有其独特的“不可约”概念：如果链可以从任何一个状态以正概率到达另一个状态，则称其为不可约的。 在遍历理论的框架下，我们关心的是动力系统 (X, B, μ_π, T) 的“遍历性”（或“度量可传递性”）。对于由不可约且正常返的马尔可夫链的平稳分布 π 所构建的系统，它是遍历的。这意味着，从 π -几乎每一个初始轨道出发，系统的时间平均都等于空间平均。这正是“伯克霍夫平均遍历定理”在马尔可夫链上的具体体现。 收敛速度与混合性 遍历性保证了长期时间平均的收敛，但不涉及收敛的速度。马尔可夫链的遍历理论进一步研究收敛速度，这与其对应的动力系统的“混合性”强弱有关。 一个不可约、非周期的马尔可夫链，其概率分布会以指数速度收敛到平稳分布 π 。在动力系统术语中，这对应于一种强混合性质。系统的状态在经过足够多次的移位变换后，会变得与初始状态统计独立。这种快速的混合性意味着系统“忘记”其初始条件的速度很快。 可逆性与谱隙 许多重要的马尔可夫链（如Metropolis-Hastings算法等MCMC方法中使用的链）是“可逆的”，即满足细致平衡条件： π_i P_{ij} = π_j P_{ji} 。 对于可逆的马尔可夫链，其转移概率矩阵 P 在配备了适当内积的函数空间上是自伴的。这使得我们可以研究 P 的谱（特征值）。最大的特征值是1，对应平稳分布。系统的混合速度由第二大的特征值模长（即“谱隙”）控制。谱隙越大（即第二大特征值离1越远），链收敛到平稳分布的速度就越快。这直接关联到动力系统中“保测变换的谱”理论，谱隙的存在意味着系统具有良好的混合性质。