数学课程设计中的图式理论 第一步：图式的基本概念 图式（Schema）是认知心理学中的一个基本概念，指人脑中预先存在的、用于组织知识的心智结构。它就像一个个“知识包”或“思维模板”，帮助我们理解新信息、解决问题和记忆知识。在数学学习中，一个“图式”可以是一个数学概念（如“三角形”）、一个运算程序（如“解方程”）、或一个问题类型（如“行程问题”）的心理表征。例如，学生关于“加法”的图式，包含了加数的顺序无关紧要（交换律）、将多个数相加可以任意组合（结合律）等核心知识。拥有一个稳固的图式，学生就能快速识别问题本质，并调用相应的策略。 第二步：图式在数学学习中的核心作用 图式理论认为，数学学习的核心是图式的形成、发展和优化。 减少认知负荷 ：当一个数学图式变得自动化后，它在我们的大脑中被视为一个整体单元进行处理。例如，熟练的学生看到“2+3”时，无需再逐个点数，可以直接提取“5”这个答案。这大大节省了工作记忆的空间，使其能专注于问题更复杂的方面。 促进知识迁移 ：稳固的图式具有概括性。学生如果形成了完善的“一元一次方程”图式，那么当他遇到各种不同情境下的应用题（如购物、工程、行程问题），只要其数学模型是“ax + b = c”，他就能识别并迁移运用该图式，而不被表面细节迷惑。 影响问题表征 ：学生如何理解一个问题，取决于他激活了哪个图式。一个学生若只具备“算术运算”图式，他可能会试图对一道本应用方程解决的问题进行复杂的逆向计算。而拥有“代数方程”图式的学生，则会自然地设未知数、列方程。 第三步：基于图式理论的课程设计原则 根据图式理论，数学课程设计应致力于帮助学生构建丰富、稳固且组织良好的数学图式网络。 激活并丰富已有图式 ：在新知识教学前，通过提问、讨论或情境创设，引导学生回忆相关的已有经验（图式）。例如，在学习“平行四边形面积”前，先复习“长方形面积”图式，并探讨平行四边形与长方形的联系，为新图式的构建搭建桥梁。 强调概念性知识，避免机械记忆 ：图式的稳固性依赖于对概念间关系的深刻理解，而非零散事实的记忆。课程设计应注重揭示数学概念的本质属性和内在联系。例如，不仅教“斜率”的公式，更要通过图像、实际例子（坡度）让学生理解斜率代表的变化率意义，从而构建一个包含视觉、数值、实际意义的多维“斜率”图式。 提供变式练习 ：为了帮助学生形成能广泛迁移的图式，而非僵化的程序，需要设计一系列在非本质特征上变化、但核心数学结构不变的练习题。例如，在巩固“追及问题”图式时，变化运动物体（人、车）、运动方向（同地出发、异地出发）、已知条件与未知量等，让学生剥离表面细节，聚焦于“速度差×时间=路程差”这一核心关系。 促进图式的整合与精致化 ：随着学习深入，要设计活动帮助学生将小的图式整合成更大的图式。例如，学完各种平面图形面积后，设计活动让学生比较这些面积公式的推导方法（如割补法、倍拼法），理解它们之间的内在联系，从而形成一个更高层次的“面积度量”图式。同时，通过解决复杂问题，促使学生对已有图式进行精细化修正。 第四步：图式理论与常见教学误区的辨析 理解图式理论有助于避免一些教学误区。 误区：大量重复练习就能学好数学。 图式视角 ：低水平、无概念的重复练习只能强化僵化的程序图式，学生只会生搬硬套，无法应对新情境。有效的练习应是上述的“变式练习”，旨在深化对概念的理解，构建灵活可迁移的图式。 误区：学生做错题只是因为“粗心”或“不认真”。 图式视角 ：很多错误源于不完整或错误的图式。例如，学生计算“12-5+1”时得到6，可能是因为他形成了一个错误的“从左到右依次计算”的图式，而缺乏“加法结合律”的正确图式。教学应诊断其错误图式并予以纠正。 总之，将图式理论应用于数学课程设计，意味着教学的中心应从传授孤立的知识点，转向有意识地帮助学生构建相互联系、层次分明、可灵活调用的心智知识结构。