代数簇的除类群 基本概念 ：在代数几何中，除类群（Divisor Class Group）是研究代数簇上除子等价关系的重要工具。对于一个代数簇 \( X \)，其除类群定义为所有 Weil 除子的群模掉主除子子群得到的商群，记作 \( \text{Cl}(X) \)。该群反映了 \( X \) 的几何性质，例如当 \( \text{Cl}(X) = 0 \) 时，\( X \) 是仿射代数簇。 构造细节 ： 首先，\( X \) 的 Weil 除子群 \( \text{Div}(X) \) 由余维数为 1 的子簇的整系数形式线性组合构成。 主除子是指由 \( X \) 上有理函数 \( f \) 生成的除子 \( \text{div}(f) \)，它描述了 \( f \) 的零点和极点。 除类群定义为商群 \( \text{Cl}(X) = \text{Div}(X) / \{\text{div}(f) \mid f \in K(X)^* \} \)，其中 \( K(X) \) 是 \( X \) 的函数域。 几何意义 ：除类群中的元素对应着 \( X \) 上可逆层（或线丛）的同构类。具体地，Picard 群 \( \text{Pic}(X) \)（线丛的同构类群）在 \( X \) 正规时与 \( \text{Cl}(X) \) 同构。例如，射影空间 \( \mathbb{P}^n \) 的除类群是整数群 \( \mathbb{Z} \)，由超平面除子生成。 计算示例 ：对于仿射空间 \( \mathbb{A}^n \)，任何余维 1 子簇均为主除子，因此 \( \text{Cl}(\mathbb{A}^n) = 0 \)。而对于椭圆曲线 \( E \)，其除类群与 \( E \) 本身的点群同构，这反映了椭圆曲线的加法结构。 应用与推广 ：除类群在奇点分类、双有理几何中起核心作用。例如，在奇点解消中，除类群的有限生成性与代数簇的 \( \mathbb{Q} \)-Gorenstein 性质相关。高维推广包括 Chow 群和导出范畴中的层论构造。