复变函数的可微性与柯西-黎曼方程
- 复变函数可微性的基本概念
复变函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处可微的定义与实函数类似，但要求极限存在且与逼近路径无关。具体地，若极限：
\[ \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \]
存在，则称 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处可微，该极限值记为 \(f'(z_0)\)。关键区别在于：\(z\) 可沿复平面内任意路径趋近于 \(z_0\)，这一要求比实函数更严格。
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可微性的几何意义与路径无关性
复可微性要求函数在 \(z_0\) 附近近似为一个线性变换（旋转和缩放）。若沿不同路径（如水平或垂直方向）逼近时结果不一致，则极限不存在。例如，考虑函数 \(f(z) = \bar{z}\)（共轭函数），沿实轴逼近时差商为 1，沿虚轴逼近时为 -1，故不可微。 -
柯西-黎曼方程的推导
设 \(z = x + iy\)，\(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\)，其中 \(u, v\) 为实值函数。若 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 可微，分别沿水平路径（\(\Delta y = 0\)）和垂直路径（\(\Delta x = 0\)）计算差商极限：- 水平路径：
\[ f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \]
- 垂直路径：
\[ f'(z_0) = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y} \]
两式实部与虚部分别相等，得到柯西-黎曼方程：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
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可微性的充分必要条件
若 \(u, v\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微（作为实函数），且满足柯西-黎曼方程，则 \(f(z)\) 在该点可微。仅满足柯西-黎曼方程不足以保证可微性，还需 \(u, v\) 的可微性（例如偏导数连续）。 -
示例分析
- 函数 \(f(z) = z^2\)：
此时 \(u = x^2 - y^2, v = 2xy\)，计算得
- 函数 \(f(z) = z^2\)：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
且偏导数连续，故 \(f(z)\) 在全平面可微。
- 函数 \(f(z) = |z|^2\)：
此时 \(u = x^2 + y^2, v = 0\)，柯西-黎曼方程仅在 \((0,0)\) 成立，但 \(u, v\) 在原点可微，故仅在 \(z=0\) 可微。
- 与解析性的关联
复变函数在区域内处处可微时称为解析函数。柯西-黎曼方程是解析性的必要条件，也是研究调和函数、共形映射等性质的基础。