二次域的理想分解与分歧理论

1. 二次域的代数整数环
   • 设 \(K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 为二次域（\(d\) 为无平方因子的整数），其代数整数环为：

\[ \mathcal{O}_K = \begin{cases} \mathbb{Z}[\sqrt{d}] & \text{若 } d \equiv 2, 3 \pmod{4}, \\ \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right] & \text{若 } d \equiv 1 \pmod{4}. \end{cases} \]

• 该环是戴德金整环（即理想唯一分解成立）的充要条件是 \(K\) 的类数为 1。

2. 素理想在二次域中的分解类型
   • 对于有理素数 \(p\)，其在 \(\mathcal{O}_K\) 中的理想分解由 \(p\) 与判别式 \(\Delta_K\) 的勒让德符号决定：

• 分裂：若 \(\left( \frac{\Delta_K}{p} \right) = 1\)，则 \(p\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2\)，其中 \(\mathfrak{p}_1 \neq \mathfrak{p}_2\) 为素理想。
• 惯性：若 \(\left( \frac{\Delta_K}{p} \right) = -1\)，则 \(p\mathcal{O}_K\) 在 \(\mathcal{O}_K\) 中仍是素理想。
• 分歧：若 \(p \mid \Delta_K\)，则 \(p\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}^2\)，即 \(p\) 完全分歧。

3. 分歧理论与判别式
   • 二次域 \(K\) 的判别式 \(\Delta_K\) 为：

\[ \Delta_K = \begin{cases} d & \text{若 } d \equiv 1 \pmod{4}, \\ 4d & \text{若 } d \equiv 2, 3 \pmod{4}. \end{cases} \]

• 分歧的素数恰好是 \(\Delta_K\) 的素因子，这些素数在扩域 \(K/\mathbb{Q}\) 中“重复出现”，是数论中奇点现象的核心。

4. 分解的显式构造

   • 若 \(p\) 分裂，可通过解同余方程 \(x^2 \equiv d \pmod{p}\) 得到解 \(r\)，则素理想为 \(\mathfrak{p} = (p, r + \sqrt{d})\)。
   • 分歧时，\(\mathfrak{p} = (p, \sqrt{d})\)（若 \(p \mid d\)）或类似构造。

5. 几何视角：素理想与点

   • 将 \(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K\) 视为一条“曲线”，素理想对应其上的点。分歧的素数对应奇点，分裂与惯性分别对应“两个点”与“不可约点”。

6. 应用：费马大定理的局部障碍

   • 分歧理论可用于分析费马方程 \(x^p + y^p = z^p\) 在分圆域中的解：若解存在，则某些素数在子域中必须非分歧，这导出矛盾（库默尔的工作）。

7. 高次扩张的推广

   • 分歧理论可推广至任意数域，与微分几何中的分歧覆叠类比，是类域论与朗兰兹纲领的起点。