保测变换的谱 1. 基本概念 保测变换的谱是研究保测动力系统的重要工具，它通过线性算子的谱理论来刻画变换的动力学性质。设 (X, B, μ) 是一个概率空间，T: X → X 是一个保测变换。这个变换自然地诱导了希尔伯特空间 L²(μ) 上的一个线性算子，称为科西戈夫算子（或转移算子），定义如下： \[ U_ T f(x) = f(Tx) \] 由于 T 是保测的，算子 U_ T 是等距的（即它保持 L² 范数：||U_ T f||₂ = ||f||₂）。对于可逆的保测变换，U_ T 甚至是酉算子。 2. 谱的定义 一个等距算子 U 的谱 σ(U) 是复数 λ 的集合，使得算子 (U - λI) 没有有界的逆算子（其中 I 是恒等算子）。由于 U_ T 是等距的，其谱总是包含在单位圆盘 {λ ∈ C : |λ| ≤ 1} 的闭包中。如果 U_ T 是酉算子（即 T 可逆），那么其谱完全落在单位圆周 {λ ∈ C : |λ| = 1} 上。 3. 谱的类型 谱可以分为不同的类型，这与变换的遍历性质紧密相关： 点谱 ：复数 λ 称为点谱，如果存在一个非零函数 f ∈ L²(μ)（称为特征函数），使得 U_ T f = λ f。所有这样的 λ 构成的集合称为点谱。 连续谱 ：如果 λ 属于谱，但不是点谱（即不存在对应的特征函数），并且存在一列函数 {f_ n}，使得 ||f_ n||₂ = 1 且 ||(U_ T - λI)f_ n||₂ → 0，那么 λ 属于连续谱。 奇异连续谱 ：这是一种特殊的连续谱，其谱测度相对于勒贝格测度是奇异的。 4. 谱与遍历性 点谱提供了判断遍历性和弱混合性的简洁判据： 遍历性 ：变换 T 是遍历的，当且仅当 1 是 U_ T 的简单特征值（即对应的特征函数是常数函数）。这意味着，点谱中除了 1 以外，没有其他特征值能对应在 L²(μ) 空间中的特征函数。 弱混合性 ：变换 T 是弱混合的，当且仅当 1 是 U_ T 的唯一特征值，并且它是一个简单特征值。换句话说，点谱中除了 1 以外，不包含任何其他点。 5. 谱与混合性 更强的混合性质也反映在谱上： 混合性 ：如果变换 T 是混合的，那么它的谱（除了点 1 以外）必须是连续的。这意味着在单位圆周上不存在非 1 的特征值。这是混合性的一个必要条件，但并非充分条件。 6. 谱的不变量与共轭 保测变换的谱是一个共轭不变量。如果两个保测变换是谱共轭的（即它们的科西戈夫算子是酉等价的），那么它们具有相同的谱。然而，谱相同并不保证变换本身是共轭的（即存在保测的同构将其中一个变换映射为另一个）。这引出了谱分类问题：能否通过谱来分类保测变换？答案是否定的，存在谱相同但不同构的变换。 7. 具有纯点谱的变换 如果一个变换的科西戈夫算子的谱完全是点谱（即由特征值组成），则称该变换具有纯点谱。一个典型的例子是圆周旋转。对于无理旋转 R_ α(x) = x + α (mod 1)，其特征函数是复指数函数 e^{2π i n x}，对应的特征值是 e^{2π i n α}。因此，它的谱是可数点集 {e^{2π i n α} : n ∈ Z}，这些点在单位圆周上稠密。 8. 具有连续谱的变换 许多复杂的动力系统具有连续谱。例如，伯努利移位（一种强混合系统）的科西戈夫算子除了点 1 以外，没有其他点谱，其谱是连续的，并且是整个单位圆周。这意味着其谱不包含任何孤立的特征值，动力学行为更加“混沌”。 9. 谱定理的应用 谱定理允许我们将科西戈夫算子 U_ T 表示为单位圆周上的乘法算子。具体来说，存在一个谱测度 E（定义在单位圆周的博雷尔集上），使得对于任何函数 f ∈ L²(μ)，有： \[ U_ T = \int_ {S^1} z \, dE(z) \] 这个表示使得我们可以使用调和分析的工具来研究算子和它作用的函数，从而更深入地理解变换 T 的长期统计行为。 10. 高斯系统 谱理论的一个典型应用是高斯动力系统。给定单位圆周上的一个谱测度，可以构造一个保测变换（高斯系统），使得其科西戈夫算子的谱型恰好由该谱测度决定。这建立了谱理论与随机过程之间的深刻联系。