圆的等距线

1. 圆的等距线是指与给定圆保持固定距离的点的轨迹。具体来说，对于平面上一个给定的圆C（称为基圆）和一个固定的距离d，圆的等距线是所有到圆C的圆周距离恰好为d的点的集合。这里“到圆周的距离”定义为点到圆心的距离减去圆的半径的绝对值。

2. 为了精确描述，设基圆C的圆心为O，半径为R。那么，一个点P到圆周的距离为 |OP - R|。因此，等距线就是满足方程 |OP - R| = d 的所有点P的轨迹，其中d是一个非负常数。

3. 根据d的取值不同，等距线的形状会发生变化：

   • 当 d = 0 时，方程变为 |OP - R| = 0，即 OP = R。这正是基圆C本身的圆周。
   • 当 d > 0 时，方程 |OP - R| = d 可以分解为两个独立的方程：OP = R + d 和 OP = R - d。

4. 分析这两个方程：

   • 方程 OP = R + d 表示所有到圆心O的距离为R+d的点的集合。这是一个以O为圆心、R+d为半径的圆。
   • 方程 OP = R - d 表示所有到圆心O的距离为|R-d|的点的集合。这里需要注意R-d的正负。
     • 当 d < R 时，R - d > 0，这个方程表示一个以O为圆心、R-d为半径的真实的圆。
     • 当 d = R 时，方程变为 OP = 0，这表示一个点，即圆心O本身。
     • 当 d > R 时，R - d < 0，但距离OP必须是非负的，所以方程 OP = R - d 在实数范围内无解（因为OP ≥ 0，而等号右边是负数）。因此，在这种情况下，只有方程 OP = R + d 贡献轨迹。

5. 综合以上情况，圆的等距线通常由两个同心圆组成（当0 < d < R时），或者由一个圆组成（当d > R时），或者退化为一个点（当d = R时）。特殊地，当d=0时，等距线就是基圆本身。这些同心圆与基圆是共圆心的。