赫尔德不等式 赫尔德不等式是分析学中描述函数空间（如L^p空间）内积分或求和关系的基本不等式。它建立了不同可积性函数乘积的积分与各自范数乘积之间的控制关系。 预备知识：共轭指数 赫尔德不等式的核心是一对共轭指数（或称赫尔德共轭）。设实数 p > 1，则其共轭指数 q 由方程 1/p + 1/q = 1 定义。当 p = 2 时，q = 2；当 p → 1⁺ 时，q → ∞。p 和 q 的地位对称，且关系式等价于 (p-1)(q-1) = 1。 Young 不等式 这是赫尔德不等式的代数基础。对任意非负实数 a, b ≥ 0 和共轭指数 p, q > 1，有： a b ≤ (a^p)/p + (b^q)/q。 等号成立当且仅当 a^p = b^q。此不等式可通过函数凹凸性证明（例如，利用对数函数的凹性或求导分析函数 f(x) = x^p/p + x^{-q}/q 的最小值）。 离散形式的赫尔德不等式 设 {a_ k}, {b_ k} 是实数序列（或复数序列，取模长），p, q 为共轭指数，则： ∑ |a_ k b_ k| ≤ (∑ |a_ k|^p)^(1/p) (∑ |b_ k|^q)^(1/q)。 证明时，可先通过缩放将序列范数化为 1，再对每个 k 应用 Young 不等式求和。 积分形式的赫尔德不等式 设 (X, μ) 是测度空间，f 和 g 是 X 上的可测函数，p, q 为共轭指数，则： ∫ |f g| dμ ≤ (∫ |f|^p dμ)^(1/p) (∫ |g|^q dμ)^(1/q)。 等号成立的条件是存在非负常数 α, β 不同时为零，使得 α |f|^p = β |g|^q 几乎处处成立。证明同样可先假设 ‖f‖_ p = ‖g‖_ q = 1，再对每个 x 应用 Young 不等式积分。 特殊情形与推广 当 p = q = 2 时，赫尔德不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。 可推广至多个函数：若 ∑ 1/p_ i = 1，则 ∫ |f_ 1 ... f_ n| dμ ≤ ∏ ‖f_ i‖_ {p_ i}。 在概率论中，取期望 E[ |XY|] ≤ (E[ |X|^p])^(1/p) (E[ |Y|^q ])^(1/q)。 应用场景 证明 L^p 空间的完备性（Minkowski 不等式的推导依赖赫尔德不等式）。 在泛函分析中证明 L^q 是 L^p 的对偶空间（当 1 ≤ p < ∞）。 在偏微分方程和傅里叶分析中用于估计积分范数。