复变函数的极限点与聚点 复变函数中，极限点（或称聚点）是描述点集结构的基本概念。设 \( S \subseteq \mathbb{C} \) 是一个点集，一点 \( z_ 0 \in \mathbb{C} \)（可在 \( S \) 内或外）称为 \( S \) 的 极限点 （limit point）或 聚点 （cluster point），如果对任意 \( \varepsilon > 0 \)，邻域 \( D(z_ 0, \varepsilon) = \{ z \in \mathbb{C} : |z - z_ 0| < \varepsilon \} \) 内总包含 \( S \) 中 异于 \( z_ 0 \) 的点。换言之，\( z_ 0 \) 的任意邻域均与 \( S \) 有无穷多个交点（除非 \( z_ 0 \) 是 \( S \) 的孤立点，但孤立点非极限点）。 1. 极限点的等价定义与示例 等价定义 ：存在序列 \( \{z_ n\} \subseteq S \setminus \{z_ 0\} \) 使得 \( \lim_ {n \to \infty} z_ n = z_ 0 \)。 示例1 ：点集 \( S = \{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \} \)，其极限点为 \( z_ 0 = 0 \)（尽管 \( 0 \notin S \)）。 示例2 ：单位圆盘 \( D(0,1) = \{ z : |z| < 1 \} \) 的极限点集为闭单位圆盘 \( \{ z : |z| \leq 1 \} \)。 2. 极限点与闭集、完备性的关系 闭集 ：若点集 \( S \) 包含其所有极限点，则 \( S \) 是闭集。 闭包 ：\( S \) 的闭包 \( \overline{S} = S \cup \{ S \text{的所有极限点} \} \)。 完备性 ：复数域 \( \mathbb{C} \) 的完备性保证任一有界无穷点集必有极限点（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理）。 3. 复变函数极限与极限点的联系 设函数 \( f(z) \) 在 \( z_ 0 \) 的去心邻域有定义，\( \lim_ {z \to z_ 0} f(z) = L \) 存在的充要条件是：对任意满足 \( \lim_ {n \to \infty} z_ n = z_ 0 \) 的序列 \( \{z_ n\} \subseteq S \setminus \{z_ 0\} \)，均有 \( \lim_ {n \to \infty} f(z_ n) = L \)。此性质将函数极限归结为点列极限，依赖 \( z_ 0 \) 为定义域的极限点。 4. 极限点在解析函数理论中的应用 唯一性定理 ：若解析函数 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内有一极限点列 \( \{z_ n\} \subseteq D \) 满足 \( f(z_ n) = 0 \)，且 \( \lim z_ n = z_ 0 \in D \)，则 \( f(z) \equiv 0 \) 于 \( D \)。 孤立奇点分类 ：若 \( z_ 0 \) 是 \( f(z) \) 的孤立奇点，且是 \( f(z) \) 零点的极限点，则 \( z_ 0 \) 必为可去奇点（矛盾于孤立本性奇点或极点的局部性质）。 5. 极限点与复分析中的拓扑性质 区域 ：非空连通开集的极限点集可能超出其边界，但区域内的点均为其极限点（因开集内任一点邻域含其他点）。 黎曼曲面 ：在复流形中，极限点概念推广至局部欧几里得空间，用于定义紧性、连通性等全局结构。 通过以上步骤，极限点概念将点集拓扑、函数极限、解析性深刻关联，为研究复变函数的整体性态奠定基础。