量子力学中的Feynman传播子

字数 2184 2025-10-30 08:32:53

量子力学中的Feynman传播子

1. 经典力学中的路径概念

在经典力学中，粒子从时空点 \((t_a, x_a)\) 运动到 \((t_b, x_b)\) 的轨迹由最小作用量原理确定：真实路径是作用量 \(S = \int_{t_a}^{t_b} L(x, \dot{x}, t) dt\) 取极值的路径（其中 \(L\) 是拉格朗日量）。但量子力学中，粒子不再有唯一轨迹，而是所有可能路径的叠加。Feynman传播子正是描述这种概率幅叠加的核心工具。

2. 量子幅叠加与路径积分的基本思想

量子力学中，粒子从初态 \(|x_a, t_a\rangle\) 演化到末态 \(|x_b, t_b\rangle\) 的概率幅由时间演化算子 \(U(t_b, t_a) = e^{-iH(t_b - t_a)/\hbar}\) 给出：

\[K(x_b, t_b; x_a, t_a) = \langle x_b | U(t_b, t_a) | x_a \rangle. \]

Feynman的突破在于将 \(K\) 表示为所有可能路径的贡献之和：

\[K = \sum_{\text{所有路径}} e^{iS/\hbar}, \]

其中每条路径的权重为相因子 \(e^{iS/\hbar}\)，\(S\) 是该路径的经典作用量。

3. 传播子的数学定义与物理意义

Feynman传播子 \(K(x_b, t_b; x_a, t_a)\) 是薛定谔方程的格林函数：

\[i\hbar \frac{\partial}{\partial t_b} K = H K, \quad \lim_{t_b \to t_a} K = \delta(x_b - x_a). \]

物理上，\(|K|^2\) 正比于粒子从 \((x_a, t_a)\) 到 \((x_b, t_b)\) 的跃迁概率密度。例如，在自由粒子情况下（\(H = p^2/2m\)），传播子有解析解：

\[K_{\text{free}} = \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar (t_b - t_a)}} \exp\left( \frac{i m (x_b - x_a)^2}{2\hbar (t_b - t_a)} \right). \]

4. 路径积分的严格化方法

对一般势能 \(V(x)\)，需将时间区间 \([t_a, t_b]\) 分割为 \(N\) 小段（步长 \(\epsilon = (t_b - t_a)/N\)），在每个时间段内近似路径为直线，并插入完备性关系 \(\int dx |x\rangle \langle x| = 1\)：

\[K = \lim_{N \to \infty} \int \prod_{k=1}^{N-1} dx_k \left( \frac{m}{2\pi i\hbar \epsilon} \right)^{N/2} \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1} \left( \frac{m(x_{j+1} - x_j)^2}{2\epsilon} - \epsilon V(x_j) \right) \right]. \]

这定义了路径积分的离散形式，连续极限下记为

\[K = \int \mathcal{D}[x(t)] e^{iS[x(t)]/\hbar}. \]

5. 传播子与量子力学基本性质的联系

叠加原理：传播子满足合成公式

\[K(x_2, t_2; x_0, t_0) = \int dx_1 K(x_2, t_2; x_1, t_1) K(x_1, t_1; x_0, t_0), \]

反映了中间态的概率幅叠加。

经典极限：当 \(\hbar \to 0\)，相因子 \(e^{iS/\hbar}\) 快速振荡，主要贡献来自满足 \(\delta S = 0\) 的经典路径（稳相近似），从而回到经典力学。

6. 在量子场论中的推广

Feynman传播子可推广到场论中，例如标量场 \(\phi(x)\) 的传播子

\[\Delta_F(x - y) = \langle 0 | T \phi(x) \phi(y) | 0 \rangle \]

（其中 \(T\) 是时序乘积），描述粒子从 \(y\) 到 \(x\) 的传播，并直接用于计算Feynman图振幅。

7. 数学挑战与扩展应用

路径积分缺乏严格的测度论定义（因 \(\mathcal{D}[x(t)]\) 不是标准测度），但可通过维纳积分（欧氏化 \(t \to -i\tau\)）或白噪声分析部分严格化。应用包括：

拓扑相（如Aharonov-Bohm效应）的路径积分解释；
量子隧穿的瞬子计算；
统计物理的配分函数与量子传播子的对应（\(Z \leftrightarrow K\)）。

通过以上步骤，Feynman传播子从经典作用量的概念逐步发展为连接量子理论与经典路径、场论及数学物理的核心桥梁。

量子力学中的Feynman传播子 1. 经典力学中的路径概念在经典力学中，粒子从时空点 \((t_ a, x_ a)\) 运动到 \((t_ b, x_ b)\) 的轨迹由最小作用量原理确定：真实路径是作用量 \(S = \int_ {t_ a}^{t_ b} L(x, \dot{x}, t) dt\) 取极值的路径（其中 \(L\) 是拉格朗日量）。但量子力学中，粒子不再有唯一轨迹，而是所有可能路径的叠加。Feynman传播子正是描述这种概率幅叠加的核心工具。 2. 量子幅叠加与路径积分的基本思想量子力学中，粒子从初态 \(|x_ a, t_ a\rangle\) 演化到末态 \(|x_ b, t_ b\rangle\) 的概率幅由时间演化算子 \(U(t_ b, t_ a) = e^{-iH(t_ b - t_ a)/\hbar}\) 给出： \[ K(x_ b, t_ b; x_ a, t_ a) = \langle x_ b | U(t_ b, t_ a) | x_ a \rangle. \] Feynman的突破在于将 \(K\) 表示为所有可能路径的贡献之和： \[ K = \sum_ {\text{所有路径}} e^{iS/\hbar}, \] 其中每条路径的权重为相因子 \(e^{iS/\hbar}\)，\(S\) 是该路径的经典作用量。 3. 传播子的数学定义与物理意义 Feynman传播子 \(K(x_ b, t_ b; x_ a, t_ a)\) 是薛定谔方程的格林函数： \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t_ b} K = H K, \quad \lim_ {t_ b \to t_ a} K = \delta(x_ b - x_ a). \] 物理上，\(|K|^2\) 正比于粒子从 \((x_ a, t_ a)\) 到 \((x_ b, t_ b)\) 的跃迁概率密度。例如，在自由粒子情况下（\(H = p^2/2m\)），传播子有解析解： \[ K_ {\text{free}} = \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar (t_ b - t_ a)}} \exp\left( \frac{i m (x_ b - x_ a)^2}{2\hbar (t_ b - t_ a)} \right). \] 4. 路径积分的严格化方法对一般势能 \(V(x)\)，需将时间区间 \([ t_ a, t_ b]\) 分割为 \(N\) 小段（步长 \(\epsilon = (t_ b - t_ a)/N\)），在每个时间段内近似路径为直线，并插入完备性关系 \(\int dx |x\rangle \langle x| = 1\)： \[ K = \lim_ {N \to \infty} \int \prod_ {k=1}^{N-1} dx_ k \left( \frac{m}{2\pi i\hbar \epsilon} \right)^{N/2} \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \sum_ {j=0}^{N-1} \left( \frac{m(x_ {j+1} - x_ j)^2}{2\epsilon} - \epsilon V(x_ j) \right) \right ]. \] 这定义了路径积分的离散形式，连续极限下记为 \[ K = \int \mathcal{D}[ x(t)] e^{iS[ x(t) ]/\hbar}. \] 5. 传播子与量子力学基本性质的联系叠加原理：传播子满足合成公式 \[ K(x_ 2, t_ 2; x_ 0, t_ 0) = \int dx_ 1 K(x_ 2, t_ 2; x_ 1, t_ 1) K(x_ 1, t_ 1; x_ 0, t_ 0), \] 反映了中间态的概率幅叠加。经典极限：当 \(\hbar \to 0\)，相因子 \(e^{iS/\hbar}\) 快速振荡，主要贡献来自满足 \(\delta S = 0\) 的经典路径（稳相近似），从而回到经典力学。 6. 在量子场论中的推广 Feynman传播子可推广到场论中，例如标量场 \(\phi(x)\) 的传播子 \[ \Delta_ F(x - y) = \langle 0 | T \phi(x) \phi(y) | 0 \rangle \] （其中 \(T\) 是时序乘积），描述粒子从 \(y\) 到 \(x\) 的传播，并直接用于计算Feynman图振幅。 7. 数学挑战与扩展应用路径积分缺乏严格的测度论定义（因 \(\mathcal{D}[ x(t)]\) 不是标准测度），但可通过维纳积分（欧氏化 \(t \to -i\tau\)）或白噪声分析部分严格化。应用包括：拓扑相（如Aharonov-Bohm效应）的路径积分解释；量子隧穿的瞬子计算；统计物理的配分函数与量子传播子的对应（\(Z \leftrightarrow K\)）。通过以上步骤，Feynman传播子从经典作用量的概念逐步发展为连接量子理论与经典路径、场论及数学物理的核心桥梁。