二次域的理想类群

1. 二次域的基本回顾

   • 二次域是形如\(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\)的数域，其中\(d\)为无平方因子的整数。当\(d>0\)时称为实二次域，\(d<0\)时称为虚二次域。
   • 其代数整数环\(\mathcal{O}_K\)的整基为\(\{1, \omega\}\)，其中\(\omega=\sqrt{d}\)（若\(d \equiv 2,3 \pmod{4}\)）或\(\omega=\frac{1+\sqrt{d}}{2}\)（若\(d \equiv 1 \pmod{4}\)）。

2. 理想类群的引入动机

   • 在一般数域中，代数整数环不一定满足唯一因子分解性质（如\(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\)中\(6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\)）。
   • 为衡量"唯一因子分解的失效程度"，库默尔引入理想的概念，将非主理想视为"理想数"，并通过理想类群量化理想的差异。

3. 理想类群的定义

   • 记\(\mathcal{O}_K\)的非零理想集合为\(I_K\)，主理想集合为\(P_K\)。理想类群定义为商群\(\text{Cl}(K)=I_K/P_K\)。
   • 两个理想\(\mathfrak{a}, \mathfrak{b}\)属于同一理想类当且仅当存在非零元\(\alpha \in K\)使得\(\mathfrak{a}=(\alpha)\mathfrak{b}\)。
   • 单位元对应主理想类，说明该类中的理想均可由单个元素生成。

4. 理想类群的结构性质

   • 理想类群是有限阿贝尔群，其阶\(h_K\)称为类数。\(h_K=1\)当且仅当\(\mathcal{O}_K\)是主理想整环（此时唯一因子分解成立）。
   • 类数计算可通过Minkowski界实现：任何理想类包含一个范数不超过\(M_K=\frac{n!}{n^n}\sqrt{|\Delta_K|}\)的理想（\(n=2\)为二次域次数，\(\Delta_K\)为判别式）。

5. 类数与二次型的关系

   • 高斯发现二次域的理想类群与二元二次型的类群同构。例如\(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\)的理想类对应判别式为\(\Delta_K\)的二次型的等价类。
   • 虚二次域中，类数较大时对应更多不可约二次型（如\(d=-23\)时类数为3，对应3个二次型\(x^2+xy+6y^2\)等）。

6. 类数的解析公式

   • 狄利克雷类数公式将类数与狄利克雷L函数关联：对虚二次域有\(h_K=\frac{w\sqrt{|\Delta_K|}}{2\pi}L(1,\chi)\)，其中\(w\)为单位根数，\(\chi\)为克罗内克符号。
   • 实二次域的类数公式涉及对数函数和基本单位，计算更为复杂。

7. 类群结构的进一步研究

   • 科恩-伦斯特拉定理描述类群p-部分（p为素数）的分布，例如奇素数p下类群p-秩的概率分布。
   • 虚二次域类数为1的d值仅有9个（黑格纳数）：\(-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\)，由黑格纳证明。

8. 应用与开放问题

   • 类数性质影响丢番图方程求解（如费马大定理的常规情形证明用到类数互素条件）。
   • 未解决问题包括：是否存在无穷多类数为1的实二次域？类群是否可任意为有限阿贝尔群？（后者已知对虚二次域部分成立）。