广义函数论
广义函数论是分析学中处理"函数"概念推广的领域，它允许我们严谨地处理一些经典意义下不可微或甚至不连续的对象，如狄拉克δ函数。其核心思想是将一个函数不再视为点态取值的对象，而是通过它与其他"良好"函数（称为检验函数）相互作用的方式来定义。
第一步：经典函数的局限性
在微积分中，我们习惯将函数 \(f(x)\) 理解为在每个点 \(x\) 都有一个确定的函数值。然而，物理学和工程学中常常出现一些"理想化"的对象，它们无法用经典函数来描述。
- 狄拉克δ函数：这是一个典型的例子，它被非正式地定义为满足以下条件的"函数"：
\[ \delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x=0 \\ 0, & x \neq 0 \end{cases} \quad \text{且} \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \, dx = 1. \]
显然，在经典意义下，没有一个函数能同时满足这两个条件。然而，在物理应用中，δ函数有一个非常实用的性质：筛选性质。对于任何足够好的函数 \(\phi(x)\)（例如连续函数），有：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \phi(x) \, dx = \phi(0). \]
这个性质在物理和工程中极为有用。广义函数论的目标就是为这类对象建立一个坚实的数学基础。
第二步：核心思想——函数作为线性泛函
广义函数论的关键突破是改变视角：一个函数不再由其点值定义，而是由它如何作用于另一类性质良好的函数来定义。
- 检验函数空间：我们首先选定一个空间 \(\mathcal{D}\)（通常是 \(C_c^\infty\)，即所有具有紧支撑的无穷次可微函数），其中的函数 \(\phi\) 被称为检验函数。它们性质非常好（光滑且只在有限区间内非零）。
- 函数视为泛函：一个经典的、局部可积的函数 \(f\)（即在任何有限区间上勒贝格可积），可以自然地诱导出一个从检验函数空间 \(\mathcal{D}\) 到实数（或复数）的映射 \(T_f\)：
\[ T_f(\phi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \phi(x) \, dx. \]
这个映射 \(T_f\) 是线性的（即 \(T_f(a\phi + b\psi) = aT_f(\phi) + bT_f(\psi)\)）并且是连续的（在适当的拓扑下）。因此，每个局部可积函数 \(f\) 都对应一个定义在 \(\mathcal{D}\) 上的连续线性泛函 \(T_f\)。
3. 广义函数的定义：我们将任何一个定义在检验函数空间 \(\mathcal{D}\) 上的连续线性泛函 \(T\) 都称为一个广义函数（也称为分布）。所有广义函数构成的集合记为 \(\mathcal{D}'\)。
第三步：狄拉克δ函数的严格定义
在广义函数的框架下，狄拉克δ函数不再是一个奇怪的"函数"，而是一个定义简洁的线性泛函 \(\delta \in \mathcal{D}'\)：
\[\delta(\phi) = \phi(0) \quad \text{对于任意检验函数 } \phi \in \mathcal{D}. \]
这个定义完美地捕捉了其筛选性质。如果非要写成积分形式，那只是符号上的便利：
\["\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \phi(x) \, dx" := \delta(\phi) = \phi(0). \]
这里，积分号只是一个形式记号，提醒我们这个泛函是由某个"函数"诱导的，尽管δ本身并不是一个经典函数。
第四步：广义函数的导数
广义函数论一个强大的优势是任何广义函数都是无穷次可微的。其导数的定义同样是通过"转移"到检验函数上来实现的。
- 对于一个经典的可微函数 \(f\)，其导数 \(f'\) 诱导的泛函为：
\[ T_{f'}(\phi) = \int f'(x) \phi(x) \, dx. \]
利用分部积分公式，并考虑到检验函数 \(\phi\) 在无穷远处为零，我们得到：
\[ \int f'(x) \phi(x) \, dx = -\int f(x) \phi'(x) \, dx = -T_f(\phi'). \]
- 受此启发，我们定义广义函数 \(T\) 的导数 \(T'\) 为如下泛函：
\[ T'(\phi) := -T(\phi') \quad \text{对于任意 } \phi \in \mathcal{D}. \]
这个定义将求导运算从被作用的函数 \(T\) 转移到了性质良好的检验函数 \(\phi\) 上。由于检验函数是光滑的，\(\phi'\) 仍然是检验函数，所以这个定义是合理的。
第五步：应用示例——处理不可微点
考虑一个在 \(x=0\) 处有跳跃的经典函数，例如 Heaviside 阶跃函数：
\[H(x) = \begin{cases} 1, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}. \]
在经典意义下，\(H(x)\) 在 \(x=0\) 处不可导。但在广义函数论中，我们可以计算其导数。
- \(H\) 诱导的泛函为 \(T_H(\phi) = \int_{-\infty}^{\infty} H(x) \phi(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} \phi(x) \, dx\)。
- 根据广义函数导数的定义，\(T_H'(\phi) = -T_H(\phi') = -\int_{0}^{\infty} \phi'(x) \, dx\)。
- 计算这个积分：\(-\int_{0}^{\infty} \phi'(x) \, dx = -[\phi(x)]_{0}^{\infty} = -(0 - \phi(0)) = \phi(0)\)。
- 因此，\(T_H'(\phi) = \phi(0)\)。但根据定义，这正是狄拉克δ泛函：\(\delta(\phi) = \phi(0)\)。
- 所以我们得到结论：在广义函数的意义下，\(H' = \delta\)。这个结果直观上符合阶跃函数的跳跃行为——其导数在跳跃点处是一个"脉冲"。
总结
广义函数论通过将函数重新定义为作用在检验函数空间上的线性泛函，极大地扩展了分析学的工具库。它使得像δ函数这样的理想化对象有了严格的数学基础，并保证了任意广义函数的可微性，从而能够优雅地处理包含奇点、跳跃或不连续性的问题。这个理论是偏微分方程和现代物理（特别是量子场论）中不可或缺的基础。