好的，我们接下来开始学习一个新的词条：代数拓扑。
请注意，根据您提供的列表，“代数拓扑”已经出现过。为了避免重复，我将选择一个与代数拓扑紧密相关但尚未被列出的核心概念进行讲解。这个词条是：
同调论
同调论是代数拓扑中的一个核心工具，它通过将拓扑空间（如曲面、高维流形等）与一系列代数对象（如阿贝尔群或模）相关联，来研究空间的整体拓扑性质（如“洞”的个数和维度）。
第一步：直观理解“数洞”
想象一个简单的二维曲面，比如一个球面和一个甜甜圈表面（环面）。
- 球面：如果你在球面上画一个闭合圈（比如赤道），这个圈总是可以连续收缩到一个点。我们说球面“没有洞”。
- 环面：在环面上，你可以画出两种不同的、不能收缩到一个点的闭合圈。
- 一种是围绕甜甜圈“洞”的圈。
- 另一种是穿过甜甜圈中心孔的圈。
- 此外，你还可以画出同时绕行两种方式的圈。我们说环面有“两个一维的洞”。
同调论的目标之一，就是系统化、代数化地“数”出这些不同维度的“洞”。
第二步：构建同调群的基本骨架——链复形
为了数洞，我们需要用代数的方法来捕捉“圈”和“面”的概念。这个过程分为三步：
- 剖分：将拓扑空间用一些简单的基本图形（单形）来拼接近似。例如，曲线可以用线段（1-单形）拼接，曲面可以用三角形（2-单形）拼接。这就像一个多面体模型。
- 定义链群：
- 将所有0-单形（点）以整数系数进行线性组合，形成一个代数结构，称为 0-维链群，记作 \(C_0\)。
- 将所有1-单形（边）进行线性组合，形成 1-维链群 \(C_1\)。
- 将所有2-单形（面）进行线性组合，形成 2-维链群 \(C_2\)。
- 以此类推，得到链群 \(C_n\)。
- 每个链群都是一个自由阿贝尔群。
- 定义边缘算子：这是一个连接不同维度链群的关键映射。边缘算子 \(\partial_n\) 将一个高维单形映射到它的低维边缘。
- \(\partial_1\)：作用于一条边（1-单形），结果是它的两个端点（0-单形）的差。
- \(\partial_2\)：作用于一个三角形（2-单形），结果是它的三条边（1-单形）之和。
- 核心性质：边缘的边缘是空的。数学上表示为 \(\partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0\)。例如，一个三角形的三条边形成一个闭合圈，它没有边缘。
这一系列链群和边缘算子组成了一个 链复形：
\[\cdots \xrightarrow{\partial_{n+2}} C_{n+1} \xrightarrow{\partial_{n+1}} C_{n} \xrightarrow{\partial_{n}} C_{n-1} \xrightarrow{\partial_{n-1}} \cdots \]
第三步：定义同调群——从链复形中提取“洞”的信息
链复形包含了空间的所有几何信息，但其中很多是冗余的。同调群通过做商群来提取精华。
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闭链：如果一个 n-维链 \(c\) 满足 \(\partial_n c = 0\)，则称 \(c\) 是一个 闭链。所有 n-维闭链构成一个子群，记作 \(Z_n = \ker \partial_n\)。
- 几何意义：闭链代表了“闭合的圈或面”。例如，三角形的三条边组成的链就是一个1-维闭链。
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边缘链：如果一个 n-维链 \(c\) 可以表示为某个 (n+1)-维链 \(d\) 的边缘，即 \(c = \partial_{n+1} d\)，则称 \(c\) 是一个 边缘链。所有边缘链构成一个子群，记作 \(B_n = \operatorname{im} \partial_{n+1}\)。
- 几何意义：边缘链代表那些是某个高维形体边界的闭链。例如，一个三角形的边界是一个边缘链，因为它本身就是一个三角形的边。
- 由于 \(\partial_n \circ \partial_{n+1} = 0\)，我们有 \(B_n \subset Z_n\)（每个边缘链一定是闭链）。
- 同调群：n-维同调群 \(H_n\) 定义为闭链群模掉边缘链群：
\[ H_n = Z_n / B_n = \ker \partial_n / \operatorname{im} \partial_{n+1} \]
* **几何意义**：同调群中的元素（等价类）代表了那些“不是任何高维形体边界的闭链”，也就是空间中“本质”的洞。
* 如果两个闭链相差一个边缘链，它们在同调群中被视为是等价的（同调的）。这意味着它们环绕的是同一个“洞”。
第四步：例子与计算
让我们计算一个简单例子的同调群：圆周 \(S^1\)。
- 剖分：将圆周用1个点 \(v\) 和1条边 \(e\) 表示（将边的两端都粘到同一个点上）。
- 链复形：
- \(C_0\) 由点 \(v\) 生成。
- \(C_1\) 由边 \(e\) 生成。
- \(C_n = 0\) 对于 \(n \geq 2\)。
- 边缘算子：
- \(\partial_1 e = v - v = 0\)（因为边的起点和终点都是 \(v\)）。
- \(\partial_n = 0\) 对于其他 \(n\)。
- 计算同调群：
- 0-维同调 \(H_0\)：
- \(Z_0 = \ker \partial_0 = C_0\)（因为 \(\partial_0\) 是零映射）。
- \(B_0 = \operatorname{im} \partial_1 = \{0\}\)（因为 \(\partial_1 e = 0\)）。
- 所以 \(H_0 = Z_0 / B_0 \cong \mathbb{Z}\)。
- 意义：\(H_0 \cong \mathbb{Z}\) 表示圆周是道路连通的（只有一个连通分支）。
- 1-维同调 \(H_1\)：
- \(Z_1 = \ker \partial_1 = C_1\)（因为 \(\partial_1 e = 0\)，所以整个 \(C_1\) 都是闭链）。
- \(B_1 = \operatorname{im} \partial_2 = \{0\}\)（因为 \(C_2 = 0\)）。
- 所以 \(H_1 = Z_1 / B_1 \cong \mathbb{Z}\)。
- 意义：\(H_1 \cong \mathbb{Z}\) 表示圆周上有一个一维的洞。生成元就是边 \(e\) 所代表的那个圈。
- 高维同调：对于 \(n \geq 2\)，\(H_n = 0\)，因为没有高维的洞。
第五步：同调论的意义与推广
- 拓扑不变量：同调群 \(H_n\) 是拓扑不变量。如果两个空间是同胚的，那么它们的同调群是同构的。因此，我们可以通过计算同调群来区分不同的空间。
- 推广：
- 奇异同调：上述基于剖分的方法称为单纯同调。更强大和通用的是奇异同调，它不依赖于具体的剖分，适用于任何拓扑空间。
- 系数：除了整数系数 \(\mathbb{Z}\)，我们还可以使用有理数 \(\mathbb{Q}\) 或有限域 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 等作为系数，这有时能简化计算并揭示不同信息。
- 上同调：与同调对偶的概念，它不仅可以数洞，还能承载额外的代数结构（如上积），在微分几何和物理学中有广泛应用。
总结：同调论提供了一个强大的代数框架，将拓扑空间中直观的“洞”的概念转化为精确的群论计算。它是现代拓扑学研究的基石之一。