随机分析（随机微积分）的创立 随机分析是研究随机过程（尤其是扩散过程）的微分与积分运算的数学分支，其核心是伊藤积分和与之相关的伊藤公式。下面我将循序渐进地讲解这一理论是如何从物理问题中萌芽，并最终发展成一套严格的数学体系的。 第一步：背景——布朗运动的数学描述 在20世纪初，科学家们试图为布朗运动（悬浮在液体中的微小颗粒因分子碰撞而产生的无规则运动）建立一个严格的数学模型。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从物理角度推导出布朗运动粒子的位移满足正态分布，其方差与时间成正比。不久后，诺伯特·维纳在1923年从数学上严格构造了布朗运动，即 维纳过程 。维纳过程 \( B_ t \) 被定义为一个具有连续路径、独立增量、且增量服从正态分布 \( N(0, t-s) \) （对于 \( t > s \) ）的随机过程。它是后续理论的基础模型，但其路径几乎处处不可微，这使得经典微积分无法直接处理它。 第二步：核心问题——如何定义随机积分？ 由于布朗运动路径的不可微性，像 \( \int_ 0^t H_ s dB_ s \) 这样的积分无法用黎曼-斯蒂尔杰斯积分的意义来定义。因为后者的定义依赖于被积函数和积分函数（这里是布朗运动路径）的共同细分，而布朗运动路径的变差是无穷大的，导致这种求和在极限情况下不收敛。伊藤清在20世纪40年代面对一个非常具体的问题：如何严格定义日本数学家弥永昌吉提出的随机微分方程，以描述某种具有随机扰动的扩散过程？这直接催生了伊藤积分的诞生。 第三步：伊藤积分的构造——关键思想与定义 伊藤清的核心思想是选择积分求和的特定点。对于非随机的黎曼积分，我们选择区间内任一点的函数值都可以，极限相同。但对于随机积分，由于被积函数 \( H_ s \) 本身也可能是一个随机过程（例如，它可能依赖于到当前时刻为止的布朗运动路径），选择不同的点会导致不同的结果。伊藤清规定，在划分区间 \( [ t_ i, t_ {i+1}] \) 上，始终取区间左端点 \( t_ i \) 处的被积函数值 \( H_ {t_ i} \) 来进行求和：\( \sum H_ {t_ i} (B_ {t_ {i+1}} - B_ {t_ i}) \。这种选择使得被积函数 \( H_ {t_ i} \) 与布朗运动的增量 \( \Delta B_ i = B_ {t_ {i+1}} - B_ {t_ i} \) 是相互独立的（因为 \( H_ {t_ i} \) 只依赖于 \( t_ i \) 之前的信息）。这样定义的概率极限是唯一且良好的。由此定义的积分被称为 伊藤积分 。 第四步：伊藤公式——随机分析的“链式法则” 这是整个理论中最关键、最优美的部分。在经典微积分中，复合函数求导有链式法则：\( df(t, x(t)) = f_ t dt + f_ x dx \)。如果 \( x(t) \) 是一个光滑函数，这已足够。但在随机分析中，如果 \( x(t) \) 被布朗运动 \( B_ t \) 取代，情况就不同了。伊藤清发现，由于布朗运动在微小时间内的二次变差不为零（事实上，\( (dB_ t)^2 \) 的期望是 \( dt \) ），必须在泰勒展开中保留二阶项。对于一个光滑函数 \( f(t, X_ t) \)，其中 \( X_ t \) 是一个伊藤过程（满足 \( dX_ t = \mu_ t dt + \sigma_ t dB_ t \) ）， 伊藤公式 给出了其微分的精确表达式： \[ df(t, X_ t) = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu_ t \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma_ t^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) dt + \sigma_ t \frac{\partial f}{\partial x} dB_ t \] 多出来的项 \( \frac{1}{2} \sigma_ t^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dt \) 是随机微积分区别于经典微积分的标志，它源于布朗运动无穷小的“振动”。 第五步：随机微分方程与应用 有了伊藤积分和伊藤公式，就可以严格地定义和求解 随机微分方程 。一个典型的SDE形式为： \[ dX_ t = \mu(t, X_ t) dt + \sigma(t, X_ t) dB_ t \] 这可以描述广泛的有随机干扰的动态系统，其解 \( X_ t \) 被称为扩散过程。随机分析在物理学（朗之万方程）、金融学（布莱克-斯科尔斯期权定价公式的数学基础）、生物学和工程学中都有极其深远的影响，它将确定性动力学与随机噪声完美地结合在一起，成为理解和建模随机现象的核心工具。