数学中“测度”概念的演进 测度思想的萌芽 测度概念源于古代几何中的长度、面积和体积测量。古希腊数学家欧多克索斯和阿基米德通过“穷竭法”计算曲线围成的面积和曲面围成的体积，体现了早期测度思想。例如，阿基米德通过内接和外切多边形序列的面积逼近圆的面积，本质上是利用“分割逼近”的方法估计几何图形的大小。 黎曼积分的局限性 19世纪，黎曼积分成为分析严格化的核心工具，但它对函数要求较高：仅对连续或仅有有限个间断点的函数有效。对于高度不连续的函数（如狄利克雷函数），黎曼积分无法处理。这一问题促使数学家思考如何更一般地定义“长度”或“体积”，并推广积分概念。 若尔当测度与早期尝试 法国数学家若尔当提出“若尔当容度”，通过内外包络的立方体网格逼近几何体的体积。但若尔当测度仍无法处理无限不连续点集（如有理数集），因为其内测度恒为0，外测度非零，导致不可测。这暴露了测度理论需要更深刻的数学基础。 博雷尔与可测集的开创 博雷尔在研究点集拓扑时，提出“博雷尔集”的概念：从开集出发，通过可数次的并、交、补运算生成的集合族。他定义了博雷尔测度，满足可数可加性（即互不相交的可数集族的测度等于各集合测度之和），突破了若尔当测度的有限可加性限制。 勒贝格测度的革命性突破 勒贝格在1902年的博士论文中建立了现代测度理论的核心框架。他提出： 外测度构造 ：通过可数个区间覆盖集合，取下确界定义外测度。 可测集公理化定义 ：若对任意集合 \( A \)，满足 \( m^ (A) = m^ (A \cap E) + m^* (A \setminus E) \)，则 \( E \) 可测（卡拉泰奥多里条件）。 勒贝格积分 ：基于测度将函数值域分割，实现对更广泛函数类（如有无穷间断点的函数）的积分。 测度论的公理化与推广 20世纪初，科尔莫戈罗夫将测度论公理化，成为概率论的基石（概率即规范化的测度）。随后，拉东、哈恩等人推广了测度概念，如符号测度、抽象测度空间。布尔巴基学派进一步将测度纳入一般拓扑空间上的积分理论。 应用与影响 测度理论不仅完善了实分析基础，还推动了泛函分析（如 \( L^p \) 空间）、遍历理论、分形几何（豪斯多夫测度）等分支的发展。例如，勒贝格测度使得研究“几乎处处”成立的性质成为可能，深刻改变了分析学的语言与方法。