索末菲-马吕斯-杜平定理

1. 定理的背景与物理问题
   索末菲-马吕斯-杜平定理是几何光学中的一个基本定理。在深入研究复杂的波动现象（如衍射）之前，几何光学提供了一个用光线近似描述光传播的简化模型。一个核心问题是：当一束光线在空间中传播，并可能被反射、折射，或者通过某些光学系统（如透镜、曲面镜）后，这束光线的某些整体性质是否会保持不变？索末菲-马吕斯-杜平定理正是回答了这个问题。

2. 核心概念的建立：正交射线束
   要理解这个定理，首先需要明确“正交射线束”的概念。想象在三维空间中有一个曲面 S0。如果我们在该曲面的每一点上，都画一条与之垂直（即法线方向）的射线，那么所有这些射线构成的集合，就称为一个“正交射线束”。简单来说，这些射线都从一个公共的波前曲面 S0 出发，并且处处与 S0 垂直。一个最简单的例子是从一个点光源发出的球面波，其波前是球面，光线是球的半径方向，处处与球面垂直。

3. 定理的定性描述
   索末菲-马吕斯-杜平定理指出：一个正交射线束，在经过任意次的反射和折射后，仍然保持为正交射线束。
   这意味着，如果初始时，你的光线束都垂直于某个初始波前曲面 S0，那么无论这些光线在后续传播中经历了多么复杂的反射和折射（例如通过一系列透镜和棱镜），你总能在空间中找到另一个曲面 S1，使得在传播后的任意时刻，所有的光线仍然与这个新的波前曲面 S1 垂直。

4. 定理的数学表述与关键量
   我们可以用更数学化的语言来描述。考虑一束光线连接两个波前曲面 S0 和 S1。定理等价于断言，对于连接 S0 和 S1 上任意两点的所有光线，光程（折射率 n 与路径长度 ds 的积分 ∫n ds）是相同的。
   这个“等光程”性质是正交性的直接结果。反之，如果一束光线具有等光程性质，那么它必然是一个正交射线束。因此，定理也可以表述为：在均匀或非均匀介质中，经过任意反射和折射，正交射线束的等光程性保持不变。

5. 定理的意义与重要性

   • 波动光学的几何近似：该定理在几何光学和波动光学之间建立了桥梁。它表明，即使在几何光学的框架下，波前（等相位面）这个概念仍然是良好定义的，并且与光线垂直。这为从几何光学过渡到更精确的波动光学（如利用程函方程）提供了理论依据。
   • 光学系统设计：该定理是许多光学系统（如成像系统）设计的理论基础。它保证了如果物点发出的球面波（一个正交射线束）经过一个完善的光学系统后，仍然能会聚成一个球面波（即像点），那么所有到达像点的光线都具有相同的光程，从而实现完美成像。
   • 与费马原理的一致性：该定理可以从费马原理（光沿光程极值的路径传播）推导出来，体现了几何光学内在的逻辑自洽性。

6. 一个简单的例子
   假设一束平行光（平面波前，正交射线束）垂直入射到一个理想凸透镜上。光线在透镜中被折射。根据索末菲-马吕斯-杜平定理，经过透镜后，这束光线仍然会构成一个正交射线束。事实上，对于一个理想透镜，这束光线会会聚到焦点，新的波前是以焦点为中心的球面，所有光线（透镜的出射光线）都垂直于这个球面波前。这验证了定理的结论。