代数簇的微分形式

代数簇的微分形式是代数几何中研究光滑性和微分结构的重要工具。让我从基础概念开始，逐步解释其定义、性质和应用。

1. 背景：光滑代数簇

   • 在代数几何中，代数簇是多项式方程组的解集。若代数簇在某点处存在唯一的切空间（即该点邻域类似于仿射空间），则称该点光滑。
   • 例如，圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 在大多数点光滑，但在点(1,0)处需单独检验（实际也光滑）。非光滑点称为奇点，如锥面\(z^2 = x^2 + y^2\)的顶点。

2. 切空间与余切空间

   • 光滑点\(p\)的切空间\(T_pX\)由所有过该点的切线方向构成，维度等于簇的维数。
   • 余切空间是切空间的对偶空间，记为\(T_p^*X\)，其元素是线性函数\(T_pX \to k\)（\(k\)为基域）。
   • 在仿射簇中，余切空间可由雅可比矩阵的核描述。例如曲面\(f(x,y,z)=0\)在点\(p\)的余切空间由梯度\(\nabla f(p)\)张成。

3. 微分1-形式的定义

   • 代数簇\(X\)上的微分1-形式是余切空间的“全局化”：对每个开集\(U \subset X\)，1-形式\(\omega\)为函数\(f \in \mathcal{O}_X(U)\)的微分\(df\)的线性组合，满足莱布尼茨法则\(d(fg) = f\,dg + g\,df\)。
   • 具体地，若\(X\)由多项式方程定义，1-形式可写为\(\sum g_i\, df_i\)，其中\(g_i\)为正则函数，\(df_i\)为形式微分。

4. 高阶微分形式与外代数

   • 微分\(k\)-形式由1-形式通过外积\(\wedge\)生成，满足反交换律\(\omega \wedge \eta = -\eta \wedge \omega\)。
   • 所有微分形式构成外代数\(\bigwedge^* \Omega_X\)，其中\(\Omega_X\)是1-形式的模。例如，2-形式可写为\(\omega_1 \wedge \omega_2\)。

5. 外微分算子

   • 外微分\(d: \bigwedge^k \Omega_X \to \bigwedge^{k+1} \Omega_X\)是线性映射，满足：

• \(d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge d\eta\)（若\(\omega\)为\(k\)-形式），
• \(d^2 = 0\)。
  • 例如，若\(\omega = f\,dg\)，则\(d\omega = df \wedge dg\)。

6. 德拉姆上同调
   • 由条件\(d^2=0\)，可定义闭形式（\(d\omega=0\)）和恰当形式（\(\omega=d\eta\)）。闭形式模去恰当形式得到德拉姆上同调群：

\[ H_{\mathrm{dR}}^k(X) = \frac{\{\text{闭}k\text{-形式}\}}{\{\text{恰当}k\text{-形式}\}}. \]

• 在特征零的代数闭域上，德拉姆上同调与奇异上同调相关，反映拓扑性质。

7. 应用与推广
   • 微分形式用于定义除子、研究簇的奇点消解，以及霍奇理论（通过复结构联系上同调）。
   • 在算术几何中，\(p\)-进德拉姆上同调研究数域上的簇。