有限群表示论 有限群表示论是代数学中研究群通过线性变换作用于向量空间的结构理论。其核心思想是将抽象的群元素具体化为矩阵或线性算子，从而利用线性代数的工具研究群的性质。下面从基础概念到核心定理逐步展开讲解。 1. 基本定义与例子 表示 ：设 \( G \) 为有限群，\( V \) 是域 \( \mathbb{F} \)（常取复数域 \( \mathbb{C} \)）上的向量空间。\( G \) 的一个线性表示是一个群同态 \[ \rho: G \to \operatorname{GL}(V), \] 其中 \( \operatorname{GL}(V) \) 是 \( V \) 上可逆线性变换的群。 维度 ：若 \( \dim V = n \)，则称 \( \rho \) 是 \( n \) 维表示。 例子 ：平凡表示将每个 \( g \in G \) 映为恒等变换；正则表示以群代数 \( \mathbb{F}[ G ] \) 为表示空间。 2. 子表示与不可约表示 子表示 ：若 \( W \subseteq V \) 是 \( G \)-不变子空间（即 \( \rho(g)W \subseteq W, \forall g \in G \)），则 \( \rho \) 在 \( W \) 上的限制称为子表示。 不可约表示 ：若 \( V \) 没有非平凡 \( G \)-不变子空间，则称 \( \rho \) 是不可约的。 意义 ：不可约表示是表示的“基本构件”，类似于质数在整数分解中的作用。 3. Maschke 定理 内容 ：若 \( \mathbb{F} \) 的特征不整除 \( |G| \)（如 \( \mathbb{F} = \mathbb{C} \)），则任何表示均可分解为不可约表示的直和： \[ V = V_ 1 \oplus V_ 2 \oplus \cdots \oplus V_ k. \] 证明思路 ：通过构造 \( G \)-不变内积，将任意子表示的补空间投影为 \( G \)-不变子空间。 4. 特征标理论 定义 ：表示 \( \rho \) 的特征标是函数 \( \chi_ \rho: G \to \mathbb{F} \)，满足 \[ \chi_ \rho(g) = \operatorname{tr}(\rho(g)). \] 特征标是类函数（只在共轭类上取值相同）。 正交关系 ：不可约特征标在 \( L^2(G) \) 中构成正交基，满足 \[ \langle \chi_ i, \chi_ j \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_ {g \in G} \chi_ i(g) \overline{\chi_ j(g)} = \delta_ {ij}. \] 应用 ：通过特征标表格可判断表示的不可约性、计算直和分解等。 5. Burnside 定理与不可约表示的分类 定理 ：有限群 \( G \) 的不可约表示个数等于其共轭类的个数。 例子 ：对称群 \( S_ 3 \) 有 3 个共轭类，因此有 3 个不可约表示（2 个 1 维，1 个 2 维）。 构造方法 ：通过群代数的半单性（由 Maschke 定理保证）和 Artin-Wedderburn 定理，将 \( \mathbb{C}[ G ] \) 分解为矩阵代数的直和。 6. 应用：群的结构分析 特征标表格 ：通过计算特征标可推导群的中心、交换性等性质。 例如 ：若群有非平凡的 1 维表示，则其交换子群非平凡；若所有特征标为实数，则群可能具有对合自同构。 总结 有限群表示论通过线性化手段将群结构转化为可计算的对象，其核心框架（Maschke 定理、特征标理论、不可约表示分类）为研究对称性提供了统一工具，并在物理（如量子力学）、数论（如自守形式）等领域有深远应用。