二次域的单位群 首先介绍二次域的基本概念。设d是一个非平方整数，那么二次域Q(√d)是所有形如a+b√d（a,b为有理数）的数构成的集合。这个域中的代数整数环取决于d模4的余数：当d≡2,3(mod4)时为Z[ √d]，当d≡1(mod4)时为Z[ (1+√d)/2 ]。 在二次域的代数整数环中，单位是指可逆元素，即满足uu'=1的元素（其中u'是u的共轭）。所有单位构成的乘法群称为单位群。对于实二次域（d>0），单位群是无限循环群；对于虚二次域（d <0），单位群是有限循环群（只有少数几个单位根）。 实二次域的基本单位是指单位群的最小生成元（大于1的那个）。可以通过连分数展开来求解基本单位。具体来说，√d的连分数展开会产生周期，这个周期长度决定了基本单位的范数（N(u)=±1）。 单位群的结构由狄利克雷单位定理完全描述：对于二次域，单位群的秩为r₁+r₂-1，其中r₁是实嵌入数（二次域总是2），r₂是复嵌入数对（虚二次域为1，实二次域为0）。因此实二次域单位群秩为1，虚二次域单位群秩为0。 虚二次域的单位群只有有限个单位根。具体来说，当d=-1时单位群为{±1,±i}（4阶循环群），当d=-3时单位群为6次单位根群，其他虚二次域单位群仅为{±1}（2阶循环群）。这些单位实际上就是代数整数环中的单位根。 实二次域的基本单位可以通过解佩尔方程x²-dy²=±1来找到。这个方程的解正好对应着实二次域中的单位（因为N(x+y√d)=x²-dy²）。最小正整数解就是基本单位或其幂次。 单位群的计算在代数数论中很重要，因为它关系到类数的计算、理想类群的结构等。例如，实二次域的类数公式中会出现基本单位的对数，这表明单位群与类数有深刻联系。 最后需要说明的是，单位群的研究可以推广到更一般的代数数域。对于高次数域，单位群可能有多个基本单位（秩大于1），但二次域作为最简单的数域情形，其单位群结构相对简单而完整。