数学中的非直谓定义

字数 2096 2025-10-29 21:52:57

数学中的非直谓定义

非直谓定义是数学哲学和逻辑学中一个重要的概念，它指的是一种在定义某个对象时，该定义本身又间接地指向了包含这个对象在内的一个总体。简单来说，就是“在定义中包含了被定义项所属的整体”。这种定义方式引发了许多关于循环性、合法性和基础问题的哲学讨论。

第一步：理解定义的基本结构与循环性问题

首先，我们从一个简单的定义例子开始。例如，我们定义“最小的自然数是0”。这个定义是“直谓的”，因为它没有诉诸于“所有自然数”这个整体来定义0。它直接给出了0的性质。

现在，考虑另一个定义：“我们定义集合S是包含所有不包含自身的集合的集合”（即罗素悖论中涉及的集合）。这个定义就是“非直谓的”。因为要判断一个集合X是否属于S，我们需要考察“所有集合”这个整体（其中包含了S本身），看看X是否不在X中。这个定义在界定S时，其界定条件（不包含自身）依赖于一个可能包含S自身的总体（所有集合的集合）。这就产生了一种循环：S的身份依赖于一个总体，而这个总体的界定又依赖于S是否存在。这种循环性在朴素集合论中导致了著名的罗素悖论。

第二步：非直谓定义的分类与实例

非直谓定义通常被分为两类：

直谓定义：一个定义是直谓的，如果被定义的对象可以在不提及包含它自身的总体的情况下被指定。例如，通过列出其元素，或者通过一个不涉及“所有X”这种概念的性质来定义。在数学奠基中，直谓定义通常被认为是更安全、没有循环嫌疑的。
非直谓定义：这又可以细分为：
- 强非直谓定义：被定义的对象明确地出现在其定义所涉及的总体中。例如，“这个房间里最高的人”。要确定谁是最高的人，我们需要比较房间里所有的人，而“最高的人”本身就在这个比较的范围内。在数学中，一个经典的例子是：“设S是所有可以用少于一百个字定义的实数的集合”。那么，“S中最小的那个实数”这个表述就可能有问题，因为它在定义这个实数时，指涉了S这个总体。
- 弱非直谓定义（或本质非直谓定义）：被定义的对象并非必然在其定义所指涉的总体中，但该定义在逻辑上无法避免指涉一个包含该对象的总体。一个关键的例子是实数理论中的“上确界原理”。该原理指出，任何一个有上界的非空实数集合，都存在一个最小的上界，即上确界。现在考虑一个实数集合A，它的上确界是s。我们如何定义s？s是“大于等于A中所有实数的最小实数”。注意，这个定义涉及了“所有实数”这个总体（因为s要比A中“所有”数都大，并且是“所有”比A大的实数中最小的）。而s本身也是一个实数，所以这个定义指涉了一个包含s自身的总体（所有实数的集合）。这种定义在经典数学中被广泛接受且不可或缺，但它本质上是非直谓的。

第三步：非直谓定义引发的哲学争议

非直谓定义之所以重要，是因为它触及了数学基础的核心问题：

循环论证的嫌疑：批评者（如庞加莱、罗素）认为，非直谓定义包含了一种恶性的循环。你似乎在用一个尚未明确定义的整体来定义其中的一个个体。这就像在说“这个秘密是世界上最秘密的秘密”——你用了“秘密”这个词本身来定义它。在数学中，这可能导致定义不牢靠，甚至产生悖论。
可接受性的界限：问题的关键不在于是否“循环”，而在于这种循环是否是“恶性”的。如果定义所依赖的总体在被定义之前就已经被良好地确定，那么这种非直谓定义可能可以被接受。例如，在公理集合论（如ZFC）的框架下，“所有集合”的总体受到公理的限制，上确界的定义被认为是在一个已确定的、存在的实数域中进行的，因此是合法的。然而，对于像“所有可定义的实数”这样的总体，其本身是否是一个良定义的、完成的总体，就存在很大争议。

第四步：数学流派的不同态度

不同的数学哲学流派对非直谓定义持有截然不同的态度：

直觉主义/构造主义：这些流派对非直谓定义通常持强烈的反对态度。他们认为数学对象必须通过心智的构造活动才能存在。一个非直谓定义，尤其是那些似乎预设了一个“已经完成”的无限总体的定义（如所有实数的总体），是不可接受的。因为他们不承认这样的总体是作为一个完成的实体存在的。
逻辑主义与形式主义（经典数学）：在基于经典逻辑和ZFC集合论的标准数学实践中，弱非直谓定义（如上确界定义）被普遍接受并被视为数学分析的基石。他们认为，只要在一個一致的公理系统内，并且该定义不会直接导致悖论，它就是合法的。公理系统本身为“所有集合”或“所有实数”这样的总体提供了一个安全的语境。
直谓主义：这是一个更极端的立场，它要求数学中只允许使用直谓定义。直谓主义者试图将数学重建在一个更严格的基础上，避免任何形式的非直谓性。这通常意味着要牺牲掉经典数学中的很大一部分成果（例如，需要发展更复杂的直谓分析来替代经典分析）。

总结

非直谓定义是数学中一种常见但充满哲学挑战的定义方式。它揭示了数学定义与它所处的整体背景之间的深刻联系。是否接受非直谓定义，以及接受何种程度的非直谓定义，取决于你所秉持的数学本体论和认识论立场——你是否相信一个“已经完成”的无限总体（如实数连续统）独立于我们的思维而存在。对这个概念的探讨，是理解二十世纪数学基础争论和不同数学哲学流派分野的关键一环。

数学中的非直谓定义非直谓定义是数学哲学和逻辑学中一个重要的概念，它指的是一种在定义某个对象时，该定义本身又间接地指向了包含这个对象在内的一个总体。简单来说，就是“在定义中包含了被定义项所属的整体”。这种定义方式引发了许多关于循环性、合法性和基础问题的哲学讨论。第一步：理解定义的基本结构与循环性问题首先，我们从一个简单的定义例子开始。例如，我们定义“最小的自然数是0”。这个定义是“直谓的”，因为它没有诉诸于“所有自然数”这个整体来定义0。它直接给出了0的性质。现在，考虑另一个定义：“我们定义集合S是包含所有不包含自身的集合的集合”（即罗素悖论中涉及的集合）。这个定义就是“非直谓的”。因为要判断一个集合X是否属于S，我们需要考察“所有集合”这个整体（其中包含了S本身），看看X是否不在X中。这个定义在界定S时，其界定条件（不包含自身）依赖于一个可能包含S自身的总体（所有集合的集合）。这就产生了一种循环：S的身份依赖于一个总体，而这个总体的界定又依赖于S是否存在。这种循环性在朴素集合论中导致了著名的罗素悖论。第二步：非直谓定义的分类与实例非直谓定义通常被分为两类：直谓定义：一个定义是直谓的，如果被定义的对象可以在不提及包含它自身的总体的情况下被指定。例如，通过列出其元素，或者通过一个不涉及“所有X”这种概念的性质来定义。在数学奠基中，直谓定义通常被认为是更安全、没有循环嫌疑的。非直谓定义：这又可以细分为：强非直谓定义：被定义的对象明确地出现在其定义所涉及的总体中。例如，“这个房间里最高的人”。要确定谁是最高的人，我们需要比较房间里所有的人，而“最高的人”本身就在这个比较的范围内。在数学中，一个经典的例子是：“设S是所有可以用少于一百个字定义的实数的集合”。那么，“S中最小的那个实数”这个表述就可能有问题，因为它在定义这个实数时，指涉了S这个总体。弱非直谓定义（或本质非直谓定义）：被定义的对象并非必然在其定义所指涉的总体中，但该定义在逻辑上无法避免指涉一个包含该对象的总体。一个关键的例子是实数理论中的“上确界原理”。该原理指出，任何一个有上界的非空实数集合，都存在一个最小的上界，即上确界。现在考虑一个实数集合A，它的上确界是s。我们如何定义s？s是“大于等于A中所有实数的最小实数”。注意，这个定义涉及了“所有实数”这个总体（因为s要比A中“所有”数都大，并且是“所有”比A大的实数中最小的）。而s本身也是一个实数，所以这个定义指涉了一个包含s自身的总体（所有实数的集合）。这种定义在经典数学中被广泛接受且不可或缺，但它本质上是非直谓的。第三步：非直谓定义引发的哲学争议非直谓定义之所以重要，是因为它触及了数学基础的核心问题：循环论证的嫌疑：批评者（如庞加莱、罗素）认为，非直谓定义包含了一种恶性的循环。你似乎在用一个尚未明确定义的整体来定义其中的一个个体。这就像在说“这个秘密是世界上最秘密的秘密”——你用了“秘密”这个词本身来定义它。在数学中，这可能导致定义不牢靠，甚至产生悖论。可接受性的界限：问题的关键不在于是否“循环”，而在于这种循环是否是“恶性”的。如果定义所依赖的总体在被定义之前就已经被良好地确定，那么这种非直谓定义可能可以被接受。例如，在公理集合论（如ZFC）的框架下，“所有集合”的总体受到公理的限制，上确界的定义被认为是在一个已确定的、存在的实数域中进行的，因此是合法的。然而，对于像“所有可定义的实数”这样的总体，其本身是否是一个良定义的、完成的总体，就存在很大争议。第四步：数学流派的不同态度不同的数学哲学流派对非直谓定义持有截然不同的态度：直觉主义/构造主义：这些流派对非直谓定义通常持强烈的反对态度。他们认为数学对象必须通过心智的构造活动才能存在。一个非直谓定义，尤其是那些似乎预设了一个“已经完成”的无限总体的定义（如所有实数的总体），是不可接受的。因为他们不承认这样的总体是作为一个完成的实体存在的。逻辑主义与形式主义（经典数学）：在基于经典逻辑和ZFC集合论的标准数学实践中，弱非直谓定义（如上确界定义）被普遍接受并被视为数学分析的基石。他们认为，只要在一個一致的公理系统内，并且该定义不会直接导致悖论，它就是合法的。公理系统本身为“所有集合”或“所有实数”这样的总体提供了一个安全的语境。直谓主义：这是一个更极端的立场，它要求数学中只允许使用直谓定义。直谓主义者试图将数学重建在一个更严格的基础上，避免任何形式的非直谓性。这通常意味着要牺牲掉经典数学中的很大一部分成果（例如，需要发展更复杂的直谓分析来替代经典分析）。总结非直谓定义是数学中一种常见但充满哲学挑战的定义方式。它揭示了数学定义与它所处的整体背景之间的深刻联系。是否接受非直谓定义，以及接受何种程度的非直谓定义，取决于你所秉持的数学本体论和认识论立场——你是否相信一个“已经完成”的无限总体（如实数连续统）独立于我们的思维而存在。对这个概念的探讨，是理解二十世纪数学基础争论和不同数学哲学流派分野的关键一环。