里斯-索伯列夫空间
字数 2173 2025-10-29 21:52:57

里斯-索伯列夫空间

  1. 背景与动机
    在偏微分方程和变分法中，我们常需研究函数及其弱导数的积分性质。经典函数空间（如连续函数空间）可能无法描述解的正则性。里斯-索伯列夫空间通过引入弱导数的概念，将函数及其导数的可积性统一刻画，为分析微分方程解的存在性与光滑性提供框架。

  2. 弱导数的定义
    若存在函数 \(g \in L^1_{\text{loc}}(\Omega)\) 使得对任意测试函数 \(\phi \in C_c^\infty(\Omega)\) 满足

\[ \int_\Omega g \phi \,dx = (-1)^{|\alpha|} \int_\Omega f D^\alpha \phi \,dx, \]

则称 \(g\) 为函数 \(f\) 的 α阶弱导数，记作 \(D^\alpha f = g\)。这里 \(\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)\) 是多指标，\(|\alpha| = \alpha_1 + \dots + \alpha_n\)。

  1. 索伯列夫空间 \(W^{k,p}(\Omega)\)
    设 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 为开集，\(k \in \mathbb{N}\)，\(1 \leq p \leq \infty\)。定义空间

\[ W^{k,p}(\Omega) = \left\{ f \in L^p(\Omega) : D^\alpha f \in L^p(\Omega) \ \forall |\alpha| \leq k \right\}, \]

其中 \(D^\alpha f\) 为弱导数。范数定义为

\[ \|f\|_{W^{k,p}} = \left( \sum_{|\alpha| \leq k} \|D^\alpha f\|_{L^p}^p \right)^{1/p} \quad (p < \infty), \]

当 \(p = \infty\) 时取上确界范数。

  1. 希尔伯特空间情形（\( p=2 \））
    当 \(p=2\) 时，记 \(H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega)\)。其内积为

\[ \langle f, g \rangle_{H^k} = \sum_{|\alpha| \leq k} \langle D^\alpha f, D^\alpha g \rangle_{L^2}, \]

此时 \(H^k(\Omega)\) 是希尔伯特空间，且 \(H^0(\Omega) = L^2(\Omega)\)。

  1. 逼近性质与稠密性

    • \(C^\infty(\Omega) \cap W^{k,p}(\Omega)\) 在 \(W^{k,p}(\Omega)\) 中不一定稠密（取决于边界性质）。
    • 若 \(\Omega\) 具有 Lipschitz 边界，则 \(C^\infty(\overline{\Omega})\) 在 \(W^{k,p}(\Omega)\) 中稠密，此时可通过光滑函数逼近研究性质。

  2. 嵌入定理
    索伯列夫空间通过连续嵌入映射到其他函数空间：

    • 索伯列夫嵌入定理：若 \(k > n/p\)，则 \(W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow C^m(\overline{\Omega})\) 连续，其中 \(m = \lfloor k - n/p \rfloor\)。
    • Rellich-Kondrachov 紧嵌入定理：若 \(\Omega\) 有界且 Lipschitz，\(1 \leq p < \infty\)，则 \(W^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega)\) 紧嵌入，其中 \(q \in [1, p^*)\)（\(p^* = np/(n-p)\) 当 \(p，否则 \(q<\infty\)）。

  3. 对偶空间与负指数空间
    定义 \(W^{-k,p'}(\Omega)\) 为 \(W^{k,p}_0(\Omega)\) 的对偶空间（\(1/p + 1/p' = 1\)），其中 \(W^{k,p}_0(\Omega)\) 是 \(C_c^\infty(\Omega)\) 在 \(W^{k,p}\) 范数下的闭包。这类空间用于描述偏微分方程的广义解。

  4. 应用举例
    在椭圆型方程 \(-\Delta u = f\) 中，若 \(f \in H^{-1}(\Omega)\)，则存在唯一弱解 \(u \in H^1_0(\Omega)\) 满足

\[ \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla \phi \,dx = \langle f, \phi \rangle \quad \forall \phi \in H^1_0(\Omega), \]

其中 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 为对偶配对。

里斯-索伯列夫空间 背景与动机 在偏微分方程和变分法中，我们常需研究函数及其弱导数的积分性质。经典函数空间（如连续函数空间）可能无法描述解的正则性。里斯-索伯列夫空间通过引入 弱导数 的概念，将函数及其导数的可积性统一刻画，为分析微分方程解的存在性与光滑性提供框架。 弱导数的定义 若存在函数 \( g \in L^1_ {\text{loc}}(\Omega) \) 使得对任意测试函数 \( \phi \in C_ c^\infty(\Omega) \) 满足 \[ \int_ \Omega g \phi \,dx = (-1)^{|\alpha|} \int_ \Omega f D^\alpha \phi \,dx, \] 则称 \( g \) 为函数 \( f \) 的 α阶弱导数 ，记作 \( D^\alpha f = g \)。这里 \( \alpha = (\alpha_ 1, \dots, \alpha_ n) \) 是多指标，\( |\alpha| = \alpha_ 1 + \dots + \alpha_ n \)。 索伯列夫空间 \( W^{k,p}(\Omega) \) 设 \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) 为开集，\( k \in \mathbb{N} \)，\( 1 \leq p \leq \infty \)。定义空间 \[ W^{k,p}(\Omega) = \left\{ f \in L^p(\Omega) : D^\alpha f \in L^p(\Omega) \ \forall |\alpha| \leq k \right\}, \] 其中 \( D^\alpha f \) 为弱导数。范数定义为 \[ \|f\| {W^{k,p}} = \left( \sum {|\alpha| \leq k} \|D^\alpha f\|_ {L^p}^p \right)^{1/p} \quad (p < \infty), \] 当 \( p = \infty \) 时取上确界范数。 希尔伯特空间情形（\( p=2 \）） 当 \( p=2 \) 时，记 \( H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega) \)。其内积为 \[ \langle f, g \rangle_ {H^k} = \sum_ {|\alpha| \leq k} \langle D^\alpha f, D^\alpha g \rangle_ {L^2}, \] 此时 \( H^k(\Omega) \) 是希尔伯特空间，且 \( H^0(\Omega) = L^2(\Omega) \)。 逼近性质与稠密性 \( C^\infty(\Omega) \cap W^{k,p}(\Omega) \) 在 \( W^{k,p}(\Omega) \) 中不一定稠密（取决于边界性质）。 若 \( \Omega \) 具有 Lipschitz 边界，则 \( C^\infty(\overline{\Omega}) \) 在 \( W^{k,p}(\Omega) \) 中稠密，此时可通过光滑函数逼近研究性质。 嵌入定理 索伯列夫空间通过连续嵌入映射到其他函数空间： 索伯列夫嵌入定理 ：若 \( k > n/p \)，则 \( W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow C^m(\overline{\Omega}) \) 连续，其中 \( m = \lfloor k - n/p \rfloor \)。 Rellich-Kondrachov 紧嵌入定理 ：若 \( \Omega \) 有界且 Lipschitz，\( 1 \leq p < \infty \)，则 \( W^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega) \) 紧嵌入，其中 \( q \in [ 1, p^ ) \)（\( p^ = np/(n-p) \) 当 \( p<n \)，否则 \( q <\infty \)）。 对偶空间与负指数空间 定义 \( W^{-k,p'}(\Omega) \) 为 \( W^{k,p}_ 0(\Omega) \) 的对偶空间（\( 1/p + 1/p' = 1 \)），其中 \( W^{k,p}_ 0(\Omega) \) 是 \( C_ c^\infty(\Omega) \) 在 \( W^{k,p} \) 范数下的闭包。这类空间用于描述偏微分方程的广义解。 应用举例 在椭圆型方程 \( -\Delta u = f \) 中，若 \( f \in H^{-1}(\Omega) \)，则存在唯一弱解 \( u \in H^1_ 0(\Omega) \) 满足 \[ \int_ \Omega \nabla u \cdot \nabla \phi \,dx = \langle f, \phi \rangle \quad \forall \phi \in H^1_ 0(\Omega), \] 其中 \( \langle \cdot, \cdot \rangle \) 为对偶配对。