傅立叶变换
字数 2923 2025-10-29 21:52:57

傅立叶变换

我们先从傅立叶级数（你已学过）的局限性说起。傅立叶级数能将一个定义在有限区间（如 [-π, π]）上的函数表示为三角函数的和。但对于定义在整个实数轴 R 上的函数，这种方法就不直接适用了。傅立叶变换正是为了解决这个问题而诞生的，它可以说是傅立叶级数在无限区间上的推广，其核心思想是将一个函数分解为连续频率的复指数函数的叠加。

第一步：从傅立叶级数到傅立叶变换的直观推导

  1. 考虑一个定义在区间 [-T/2, T/2] 上的函数 f(t)。其复指数形式的傅立叶级数为：
    f(t) = Σ_{n=-∞}^{∞} c_n e^{i n ω_0 t}
    其中，基频 ω_0 = 2π/T，傅立叶系数 c_n = (1/T) ∫_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i n ω_0 t} dt。

  2. 现在，我们让周期 T 趋于无穷大（T → ∞）。这意味着函数 f(t) 不再具有周期性，而是定义在整个实数轴上。同时，基频 ω_0 = 2π/T 会变得非常小（Δω → 0），而频率点 nω_0 会变得越来越密集，最终形成一个连续的频率变量，我们记作 ω。

  3. 我们将系数 c_n 的表达式乘以 T，并定义一个与 n 有关的新函数 F(ω)：
    F(nω_0) = T c_n = ∫{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i n ω_0 t} dt。
    那么，原来的级数可以改写为：
    f(t) = Σ    {n=-∞}^{∞} [F(nω_0) / T] e^{i n ω_0 t} = (1/(2π)) Σ_{n=-∞}^{∞} F(nω_0) e^{i n ω_0 t} ω_0。 （因为 1/T = ω_0/(2π)）

  4. 当 T → ∞ 时，离散求和 Σ ... ω_0 就自然地过渡到了连续变量的积分 ∫ ... dω。于是我们得到：
    f(t) = (1/(2π)) ∫{-∞}^{∞} F(ω) e^{iωt} dω。
    而 F(ω) 的表达式也变成了在全体实数上的积分：
    F(ω) = ∫    {-∞}^{∞} f(t) e^{-iωt} dt。

通过这个推导，我们得到了傅立叶变换的核心定义。

第二步：傅立叶变换的严格定义

设函数 f 是定义在 R 上的复值函数。

  1. 傅立叶变换：函数 f 的傅立叶变换是一个新的函数，记作 ^f 或 F，定义为：
    ^f(ξ) = ∫_{R} f(x) e^{-2πi ξ x} dx。
    这里的 ξ 被解释为频率变量。这个定义强调了变换对变量 x 和 ξ 的对称性。

  2. 另一种常见定义：在数学和工程领域，也常用另一种定义（我们后续将采用此定义）：
    F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-iωt} dt。
    这个定义将角频率 ω 作为变量。相应的逆变换公式会有一个系数 1/(2π)。

  3. 傅立叶逆变换：如果已知函数 f 的傅立叶变换 F(ω)，那么在 f 的连续点，可以通过逆变换还原出 f：
    f(t) = (1/(2π)) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{iωt} dω。
    这个公式可以理解为：函数 f(t) 被表示为所有频率 ω 的复指数 e^{iωt} 的连续加权和，而权重就是 (1/(2π))F(ω)。

第三步：傅立叶变换存在的条件（L^1 理论）

一个函数并非自动就有定义良好的傅立叶变换。我们需要考虑积分 ∫|f(x)| dx 是否收敛。

  1. L^1(R) 空间：所有在 R 上勒贝格可测，且满足 ∫_{R} |f(x)| dx < ∞ 的函数 f 构成的集合，称为 L^1(R) 空间。这个积分是函数的 L^1 范数，记作 ||f||_1。

  2. 基本存在性定理：如果 f ∈ L^1(R)，那么其傅立叶变换 ^f(ξ) 对每一个频率 ξ 都是良好定义的，并且 ^f 是一个定义在 R 上的有界连续函数。

    • 有界性： |^f(ξ)| ≤ ||f||_1 对所有 ξ ∈ R 成立。
    • 连续性：函数 ^f 在 R 上是一致连续的。
    • 这个定理是傅立叶变换理论的基石。它保证了对于可积函数，其傅立叶变换是性质很好的函数。

第四步：傅立叶变换在 L^2 空间中的扩展

L^1 理论有一个明显的缺陷：逆变换公式 f(t) = (1/(2π))∫ F(ω)e^{iωt}dω 并不总是对 L^1 函数成立。而且，很多重要的函数（如常数函数、正弦函数）并不在 L^1 中，因为它们在无穷远处不衰减。一个更强大且更优美的理论是在 L^2 空间（平方可积函数空间）中建立的。

  1. L^2(R) 空间：所有满足 ∫_{R} |f(x)|^2 dx < ∞ 的勒贝格可测函数 f 构成的集合。

  2. 普朗歇尔定理：傅立叶变换可以唯一地扩张为 L^2(R) 到自身的一个等距同构（模一个常数因子）。

    • 具体来说，存在一个唯一的酉算子 F: L^2(R) -> L^2(R)，使得对于所有 f, g ∈ L^2(R)，有 帕塞瓦尔恒等式：
      ∫{R} f(x) \bar{g(x)} dx = (1/(2π)) ∫{R} F(ω) \bar{G(ω)} dω。
      特别地，当 f = g 时，有 ∫|f(x)|^2 dx = (1/(2π)) ∫ |F(ω)|^2 dω。这表明函数在时域（或空域）的总能量等于其在频域的总能量。

  3. 计算方式：对于一个 L^2 函数，其傅立叶变换通常通过“截断”来定义。令 f_T(t) = f(t) 当 |t| ≤ T，否则为 0。显然 f_T ∈ L^1 ∩ L^2。那么 f 的傅立叶变换 F 定义为当 T → ∞ 时，f_T 的傅立叶变换在 L^2 范数下的极限。

第五步：傅立叶变换的基本性质

傅立叶变换之所以强大，是因为它具有一系列优美的代数性质，这些性质将函数在时域（或空域）的操作转化为频域上更简单的操作。

  1. 线性： F[a f + b g] = a F[f] + b F[g]。
  2. 平移性质：时域平移对应频域的相移： F[f(t - a)] = e^{-iωa} F(ω)。频域平移对应时域的调制： F[e^{iω_0 t} f(t)] = F(ω - ω_0)。
  3. 微分性质：这是最关键的性质之一。时域的微分对应频域乘以 iω： F[f'(t)] = iω F(ω)。反之，频域的微分对应时域乘以 -it： F[-it f(t)] = dF(ω)/dω。这个性质使得傅立叶变换成为求解微分方程的强大工具。
  4. 卷积定理：两个函数 f 和 g 的卷积 (f * g)(t) = ∫ f(τ)g(t-τ)dτ 的傅立叶变换，等于它们各自傅立叶变换的乘积： F[f * g] = F[f] · F[g]。时域中复杂的卷积运算在频域中变成了简单的乘法运算，这是信号处理等领域的基础。

傅立叶变换是分析数学、偏微分方程、概率论、信号处理及量子力学等众多领域的核心工具，它将函数从“时间视角”切换到“频率视角”，从而揭示出函数更深层次的结构和信息。

傅立叶变换 我们先从傅立叶级数（你已学过）的局限性说起。傅立叶级数能将一个定义在有限区间（如 [ -π, π ]）上的函数表示为三角函数的和。但对于定义在整个实数轴 R 上的函数，这种方法就不直接适用了。傅立叶变换正是为了解决这个问题而诞生的，它可以说是傅立叶级数在无限区间上的推广，其核心思想是将一个函数分解为连续频率的复指数函数的叠加。 第一步：从傅立叶级数到傅立叶变换的直观推导 考虑一个定义在区间 [ -T/2, T/2 ] 上的函数 f(t)。其复指数形式的傅立叶级数为： f(t) = Σ_ {n=-∞}^{∞} c_ n e^{i n ω_ 0 t} 其中，基频 ω_ 0 = 2π/T，傅立叶系数 c_ n = (1/T) ∫_ {-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i n ω_ 0 t} dt。 现在，我们让周期 T 趋于无穷大（T → ∞）。这意味着函数 f(t) 不再具有周期性，而是定义在整个实数轴上。同时，基频 ω_ 0 = 2π/T 会变得非常小（Δω → 0），而频率点 nω_ 0 会变得越来越密集，最终形成一个连续的频率变量，我们记作 ω。 我们将系数 c_ n 的表达式乘以 T，并定义一个与 n 有关的新函数 F(ω)： F(nω_ 0) = T c_ n = ∫ {-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i n ω_ 0 t} dt。 那么，原来的级数可以改写为： f(t) = Σ {n=-∞}^{∞} [ F(nω_ 0) / T] e^{i n ω_ 0 t} = (1/(2π)) Σ_ {n=-∞}^{∞} F(nω_ 0) e^{i n ω_ 0 t} ω_ 0。 （因为 1/T = ω_ 0/(2π)） 当 T → ∞ 时，离散求和 Σ ... ω_ 0 就自然地过渡到了连续变量的积分 ∫ ... dω。于是我们得到： f(t) = (1/(2π)) ∫ {-∞}^{∞} F(ω) e^{iωt} dω。 而 F(ω) 的表达式也变成了在全体实数上的积分： F(ω) = ∫ {-∞}^{∞} f(t) e^{-iωt} dt。 通过这个推导，我们得到了傅立叶变换的核心定义。 第二步：傅立叶变换的严格定义 设函数 f 是定义在 R 上的复值函数。 傅立叶变换 ：函数 f 的傅立叶变换是一个新的函数，记作 ^f 或 F，定义为： ^f(ξ) = ∫_ {R} f(x) e^{-2πi ξ x} dx。 这里的 ξ 被解释为 频率 变量。这个定义强调了变换对变量 x 和 ξ 的对称性。 另一种常见定义 ：在数学和工程领域，也常用另一种定义（我们后续将采用此定义）： F(ω) = ∫_ {-∞}^{∞} f(t) e^{-iωt} dt。 这个定义将角频率 ω 作为变量。相应的逆变换公式会有一个系数 1/(2π)。 傅立叶逆变换 ：如果已知函数 f 的傅立叶变换 F(ω)，那么在 f 的连续点，可以通过逆变换还原出 f： f(t) = (1/(2π)) ∫_ {-∞}^{∞} F(ω) e^{iωt} dω。 这个公式可以理解为：函数 f(t) 被表示为所有频率 ω 的复指数 e^{iωt} 的连续加权和，而权重就是 (1/(2π))F(ω)。 第三步：傅立叶变换存在的条件（L^1 理论） 一个函数并非自动就有定义良好的傅立叶变换。我们需要考虑积分 ∫|f(x)| dx 是否收敛。 L^1(R) 空间 ：所有在 R 上勒贝格可测，且满足 ∫_ {R} |f(x)| dx < ∞ 的函数 f 构成的集合，称为 L^1(R) 空间。这个积分是函数的 L^1 范数，记作 ||f||_ 1。 基本存在性定理 ：如果 f ∈ L^1(R)，那么其傅立叶变换 ^f(ξ) 对每一个频率 ξ 都是良好定义的，并且 ^f 是一个定义在 R 上的 有界连续函数 。 有界性 ： |^f(ξ)| ≤ ||f||_ 1 对所有 ξ ∈ R 成立。 连续性 ：函数 ^f 在 R 上是一致连续的。 这个定理是傅立叶变换理论的基石。它保证了对于可积函数，其傅立叶变换是性质很好的函数。 第四步：傅立叶变换在 L^2 空间中的扩展 L^1 理论有一个明显的缺陷：逆变换公式 f(t) = (1/(2π))∫ F(ω)e^{iωt}dω 并不总是对 L^1 函数成立。而且，很多重要的函数（如常数函数、正弦函数）并不在 L^1 中，因为它们在无穷远处不衰减。一个更强大且更优美的理论是在 L^2 空间（平方可积函数空间）中建立的。 L^2(R) 空间 ：所有满足 ∫_ {R} |f(x)|^2 dx < ∞ 的勒贝格可测函数 f 构成的集合。 普朗歇尔定理 ：傅立叶变换可以唯一地扩张为 L^2(R) 到自身的一个 等距同构 （模一个常数因子）。 具体来说，存在一个唯一的酉算子 F: L^2(R) -> L^2(R)，使得对于所有 f, g ∈ L^2(R)，有 帕塞瓦尔恒等式 ： ∫ {R} f(x) \bar{g(x)} dx = (1/(2π)) ∫ {R} F(ω) \bar{G(ω)} dω。 特别地，当 f = g 时，有 ∫|f(x)|^2 dx = (1/(2π)) ∫ |F(ω)|^2 dω。这表明函数在时域（或空域）的总能量等于其在频域的总能量。 计算方式 ：对于一个 L^2 函数，其傅立叶变换通常通过“截断”来定义。令 f_ T(t) = f(t) 当 |t| ≤ T，否则为 0。显然 f_ T ∈ L^1 ∩ L^2。那么 f 的傅立叶变换 F 定义为当 T → ∞ 时，f_ T 的傅立叶变换在 L^2 范数下的极限。 第五步：傅立叶变换的基本性质 傅立叶变换之所以强大，是因为它具有一系列优美的代数性质，这些性质将函数在时域（或空域）的操作转化为频域上更简单的操作。 线性 ： F[ a f + b g] = a F[ f] + b F[ g ]。 平移性质 ：时域平移对应频域的相移： F[ f(t - a)] = e^{-iωa} F(ω)。频域平移对应时域的调制： F[ e^{iω_ 0 t} f(t)] = F(ω - ω_ 0)。 微分性质 ：这是最关键的性质之一。时域的微分对应频域乘以 iω： F[ f'(t)] = iω F(ω)。反之，频域的微分对应时域乘以 -it： F[ -it f(t) ] = dF(ω)/dω。这个性质使得傅立叶变换成为求解微分方程的强大工具。 卷积定理 ：两个函数 f 和 g 的卷积 (f * g)(t) = ∫ f(τ)g(t-τ)dτ 的傅立叶变换，等于它们各自傅立叶变换的 乘积 ： F[ f * g] = F[ f] · F[ g ]。时域中复杂的卷积运算在频域中变成了简单的乘法运算，这是信号处理等领域的基础。 傅立叶变换是分析数学、偏微分方程、概率论、信号处理及量子力学等众多领域的核心工具，它将函数从“时间视角”切换到“频率视角”，从而揭示出函数更深层次的结构和信息。