代数簇的Zariski拓扑
字数 2159 2025-10-29 21:52:57

代数簇的Zariski拓扑

代数簇的Zariski拓扑是代数几何中的一个基本概念，它为代数簇（由多项式方程定义的几何对象）提供了一种独特的拓扑结构。这种拓扑与我们熟悉的实数空间中的欧几里得拓扑有本质区别，其定义直接源于多项式的代数性质。

第一步：从欧几里得拓扑到一种新拓扑的需求

在实数空间 R^n 中，我们熟悉的欧几里得拓扑是用开球来定义的。一个集合是开集，如果其中的每一点都有一个以该点为中心、完全包含在该集合内的开球。这种拓扑很好地反映了“邻近”和“连续”的直观概念。

然而，在代数几何中，我们研究的是代数簇，即多项式方程组的解集。例如，在复数平面 C^2 上，方程 y = x^2 定义了一条抛物线。我们关心的“函数”是限制在簇上的多项式函数。欧几里得拓扑对于研究多项式函数来说“太精细”了，它包含了太多非代数（例如超越函数）的信息。我们需要一种更粗糙、更直接地反映多项式性质的拓扑。这就是Zariski拓扑的动机。

第二步：Zariski拓扑的定义基础——代数集

  1. 仿射空间：设 k 是一个域（如复数域 C），n 是一个正整数。仿射空间 A^n_k 就是集合 k^n，即所有 n 元组 (a_1, a_2, ..., a_n) 的集合，其中 a_i ∈ k。我们暂时忽略其上的向量空间结构，只将其视为一个点集。
  2. 代数集：一个子集 V ⊆ A^n_k 被称为代数集，如果存在一族多项式 {f_i} ⊆ k[x_1, ..., x_n]，使得 V 恰好是这些多项式的公共零点集。即 V = { P ∈ A^n_k | f_i(P) = 0 对于所有 i }。
    • 例子：在 A^2_C (即 C^2) 中，单个多项式 f(x, y) = y - x^2 的零点集就是抛物线。这是一个代数集。
    • 另一个例子：有限个点，例如 {(0,0), (1,1)}，也是代数集，因为它可以由多项式 x(x-1) 和 y(y-1) 等方程定义。

第三步：Zariski闭集的定义

在仿射空间 A^n_k 上，我们定义Zariski闭集为所有的代数集。

也就是说，一个子集是闭集，当且仅当它是一个代数集。让我们验证这确实定义了一个拓扑：

  1. 全空间是闭集：全空间 A^n_k 是零多项式的零点集。因为零多项式在所有点上都为零。所以 A^n_k 是闭集。
  2. 空集是闭集：空集可以看作是由常数多项式 1 定义的零点集（因为没有任何点能满足 1=0）。所以空集是闭集。
  3. 闭集的任意交仍然是闭集：如果有一族闭集 {V_i}，每个 V_i 由多项式集合 S_i 定义。那么它们的交集 ∩V_i 就是由所有 S_i 中多项式的并集所定义的代数集。所以交集是闭集。
  4. 有限个闭集的并仍然是闭集：如果 V 和 W 是两个闭集，分别由多项式集合 S 和 T 定义。那么 V ∪ W 是由所有形如 fg (f ∈ S, g ∈ T) 的多项式定义的代数集。因为一个点在 V ∪ W 上，当且仅当它在 V 上（S中所有多项式为零）或它在 W 上（T中所有多项式为零），这等价于对于所有 f ∈ S, g ∈ T，乘积 fg 在该点为零。所以并集是闭集。

由于满足拓扑公理，我们就在 A^n_k 上定义了一个拓扑，称为Zariski拓扑。

第四步：Zariski拓扑的奇特性质

与欧几里得拓扑相比，Zariski拓扑非常粗糙。

  1. 闭集非常“大”：在 A^1_k（仿射直线）上，闭集只有：全空间、空集、以及有限点集。这意味着，任何无限子集（如整数集、开区间）在Zariski拓扑下都不是闭集。它的补集，即开集，是“几乎全空间”的集合（全空间去掉有限个点）。所以，开集总是非常“稠密”的。
  2. 不满足豪斯多夫分离公理：在豪斯多夫空间中，任意两个不同的点都可以用不相交的开邻域分开。在Zariski拓扑中，这是不可能的。例如，在 A^1_k 上，任意两个非空开集（都是全空间去掉有限个点）必然有无限多个交点，因此不可能不相交。
  3. 拓扑基：所有“主开集” D(f) = { P ∈ A^n_k | f(P) ≠ 0 } 构成Zariski拓扑的一组基，其中 f 是多项式。这些集合是多项式函数 f 不为零的点集。

第五步：从仿射空间到代数簇

上述定义是在整个仿射空间上给出的。对于一个代数簇 V（它本身是 A^n_k 的一个代数集），我们可以定义其上的子空间拓扑，也称为V上的Zariski拓扑。

V 的一个子集是闭集，当且仅当它等于 V 与某个 A^n_k 的闭集（即某个代数集）的交集。换句话说，V 上的闭集就是包含在 V 中的代数集。

  • 例子：在抛物线 V = { (x,y) | y = x^2 } 上，子集 { (0,0), (1,1) } 是闭集，因为它是 V 与 A^2 的闭集 { (0,0), (1,1) } 的交集。

总结

Zariski拓扑是代数簇的“默认”拓扑，它将几何性质（闭集）与代数性质（多项式的零点）紧密联系在一起。它的粗糙性反映了代数几何只关心多项式方程及其解的本质特性，而过滤掉了其他无关的拓扑信息。理解Zariski拓扑是进入现代代数几何领域的关键一步。

代数簇的Zariski拓扑 代数簇的Zariski拓扑是代数几何中的一个基本概念，它为代数簇（由多项式方程定义的几何对象）提供了一种独特的拓扑结构。这种拓扑与我们熟悉的实数空间中的欧几里得拓扑有本质区别，其定义直接源于多项式的代数性质。 第一步：从欧几里得拓扑到一种新拓扑的需求 在实数空间 R^n 中，我们熟悉的欧几里得拓扑是用开球来定义的。一个集合是开集，如果其中的每一点都有一个以该点为中心、完全包含在该集合内的开球。这种拓扑很好地反映了“邻近”和“连续”的直观概念。 然而，在代数几何中，我们研究的是代数簇，即多项式方程组的解集。例如，在复数平面 C^2 上，方程 y = x^2 定义了一条抛物线。我们关心的“函数”是限制在簇上的多项式函数。欧几里得拓扑对于研究多项式函数来说“太精细”了，它包含了太多非代数（例如超越函数）的信息。我们需要一种更粗糙、更直接地反映多项式性质的拓扑。这就是Zariski拓扑的动机。 第二步：Zariski拓扑的定义基础——代数集 仿射空间 ：设 k 是一个域（如复数域 C），n 是一个正整数。仿射空间 A^n_ k 就是集合 k^n，即所有 n 元组 (a_ 1, a_ 2, ..., a_ n) 的集合，其中 a_ i ∈ k。我们暂时忽略其上的向量空间结构，只将其视为一个点集。 代数集 ：一个子集 V ⊆ A^n_ k 被称为代数集，如果存在一族多项式 {f_ i} ⊆ k[ x_ 1, ..., x_ n]，使得 V 恰好是这些多项式的公共零点集。即 V = { P ∈ A^n_ k | f_ i(P) = 0 对于所有 i }。 例子 ：在 A^2_ C (即 C^2) 中，单个多项式 f(x, y) = y - x^2 的零点集就是抛物线。这是一个代数集。 另一个例子 ：有限个点，例如 {(0,0), (1,1)}，也是代数集，因为它可以由多项式 x(x-1) 和 y(y-1) 等方程定义。 第三步：Zariski闭集的定义 在仿射空间 A^n_ k 上，我们 定义Zariski闭集为所有的代数集 。 也就是说，一个子集是闭集，当且仅当它是一个代数集。让我们验证这确实定义了一个拓扑： 全空间是闭集 ：全空间 A^n_ k 是零多项式的零点集。因为零多项式在所有点上都为零。所以 A^n_ k 是闭集。 空集是闭集 ：空集可以看作是由常数多项式 1 定义的零点集（因为没有任何点能满足 1=0）。所以空集是闭集。 闭集的任意交仍然是闭集 ：如果有一族闭集 {V_ i}，每个 V_ i 由多项式集合 S_ i 定义。那么它们的交集 ∩V_ i 就是由所有 S_ i 中多项式的并集所定义的代数集。所以交集是闭集。 有限个闭集的并仍然是闭集 ：如果 V 和 W 是两个闭集，分别由多项式集合 S 和 T 定义。那么 V ∪ W 是由所有形如 f g (f ∈ S, g ∈ T) 的多项式定义的代数集。因为一个点在 V ∪ W 上，当且仅当它在 V 上（S中所有多项式为零）或它在 W 上（T中所有多项式为零），这等价于对于所有 f ∈ S, g ∈ T，乘积 f g 在该点为零。所以并集是闭集。 由于满足拓扑公理，我们就在 A^n_ k 上定义了一个拓扑，称为 Zariski拓扑 。 第四步：Zariski拓扑的奇特性质 与欧几里得拓扑相比，Zariski拓扑非常粗糙。 闭集非常“大” ：在 A^1_ k（仿射直线）上，闭集只有：全空间、空集、以及有限点集。这意味着，任何无限子集（如整数集、开区间）在Zariski拓扑下都不是闭集。它的补集，即开集，是“几乎全空间”的集合（全空间去掉有限个点）。所以，开集总是非常“稠密”的。 不满足豪斯多夫分离公理 ：在豪斯多夫空间中，任意两个不同的点都可以用不相交的开邻域分开。在Zariski拓扑中，这是不可能的。例如，在 A^1_ k 上，任意两个非空开集（都是全空间去掉有限个点）必然有无限多个交点，因此不可能不相交。 拓扑基 ：所有“主开集” D(f) = { P ∈ A^n_ k | f(P) ≠ 0 } 构成Zariski拓扑的一组基，其中 f 是多项式。这些集合是多项式函数 f 不为零的点集。 第五步：从仿射空间到代数簇 上述定义是在整个仿射空间上给出的。对于一个代数簇 V（它本身是 A^n_ k 的一个代数集），我们可以定义其上的 子空间拓扑 ，也称为V上的Zariski拓扑。 V 的一个子集是闭集，当且仅当它等于 V 与某个 A^n_ k 的闭集（即某个代数集）的交集。换句话说，V 上的闭集就是包含在 V 中的代数集。 例子 ：在抛物线 V = { (x,y) | y = x^2 } 上，子集 { (0,0), (1,1) } 是闭集，因为它是 V 与 A^2 的闭集 { (0,0), (1,1) } 的交集。 总结 Zariski拓扑是代数簇的“默认”拓扑，它将几何性质（闭集）与代数性质（多项式的零点）紧密联系在一起。它的粗糙性反映了代数几何只关心多项式方程及其解的本质特性，而过滤掉了其他无关的拓扑信息。理解Zariski拓扑是进入现代代数几何领域的关键一步。