里斯-索伯列夫空间 背景与动机 在偏微分方程和变分法中，我们常需研究函数及其弱导数的可积性。经典函数空间（如连续函数空间）无法刻画导数的高阶可积性，而索伯列夫空间通过引入弱导数的概念，将函数与其导数视为整体，为分析解的正则性提供了统一框架。里斯（Riesz）在泛函分析中的贡献与该空间的理论发展密切相关，故称"里斯-索伯列夫空间"。 弱导数的定义 若函数 \( u \in L^1_ {\text{loc}}(\Omega) \)（Ω为开集）存在 \( v_ \alpha \in L^1_ {\text{loc}}(\Omega) \) 使得对任意测试函数 \( \phi \in C_ c^\infty(\Omega) \) 满足： \[ \int_ \Omega u \, D^\alpha \phi \, dx = (-1)^{|\alpha|} \int_ \Omega v_ \alpha \phi \, dx, \] 则称 \( v_ \alpha \) 是 \( u \) 的 \( \alpha \) 阶弱导数，记作 \( D^\alpha u = v_ \alpha \)。弱导数推广了经典导数，允许函数在个别点不可导。 索伯列夫空间 \( W^{k,p}(\Omega) \) 对整数 \( k \geq 0 \) 和实数 \( 1 \leq p \leq \infty \)，定义空间： \[ W^{k,p}(\Omega) = \left\{ u \in L^p(\Omega) : D^\alpha u \in L^p(\Omega) \ \forall |\alpha| \leq k \right\}, \] 赋以范数 \( \|u\| {W^{k,p}} = \left( \sum {|\alpha| \leq k} \|D^\alpha u\|_ {L^p}^p \right)^{1/p} \)（当 \( p = \infty \) 时取上确界范数）。该范数衡量函数及其所有不超过 \( k \) 阶弱导数的整体大小。 希尔伯特空间特例：\( H^k(\Omega) \) 当 \( p=2 \) 时，记 \( H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega) \)。其内积定义为： \[ \langle u, v \rangle_ {H^k} = \sum_ {|\alpha| \leq k} \langle D^\alpha u, D^\alpha v \rangle_ {L^2}, \] 此时 \( H^k(\Omega) \) 是希尔伯特空间，便于应用投影定理和傅里叶分析工具。 逼近性质与稠密性 \( C^\infty(\Omega) \cap W^{k,p}(\Omega) \) 在 \( W^{k,p}(\Omega) \) 中稠密（对任意 Ω 成立）。若 Ω 具有利普希茨边界，则 \( C^\infty(\overline{\Omega}) \) 也在 \( W^{k,p}(\Omega) \) 中稠密，允许用光滑函数逼近索伯列夫函数。 嵌入定理 关键结果包括： 索伯列夫嵌入 ：若 \( kp < n \)（n为空间维数），则 \( W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow L^{p^ }(\Omega) \) 连续嵌入，其中 \( p^ = \frac{np}{n-kp} \)；若 \( k > n/p \)，则嵌入到赫尔德连续空间 \( C^{0,\alpha}(\overline{\Omega}) \)。 雷利希-康德拉索夫定理 ：当 \( kp < n \) 时，嵌入 \( W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega) \) 对 \( 1 \leq q < p^* \) 是紧的，为变分问题中极值的存在性提供基础。 对偶空间与负指数空间 索伯列夫空间的对偶空间记为 \( W^{-k,p'}(\Omega) \)（\( \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1 \)），可视为分布空间。例如，\( H^{-1}(\Omega) \) 是 \( H_ 0^1(\Omega) \) 的对偶，用于刻画偏微分方程的弱解。 应用举例 在椭圆型偏微分方程（如泊松方程 \( -\Delta u = f \)）中，弱解属于 \( H_ 0^1(\Omega) \)，利用拉克斯-密尔格拉姆定理可证明解的存在性与唯一性。索伯列夫范数则用于估计解的正则性。