二次域的基本性质 二次域是数论中研究二次代数数域的结构与性质的领域。让我们从二次域的定义开始，逐步探讨其核心特性。 二次域的定义 二次域是指有理数域ℚ的二次扩域，即形如ℚ(√d)的域，其中d是一个无平方因子的整数（d ≠ 0, 1）。例如： 若d = 2，ℚ(√2)包含所有a + b√2（a, b ∈ ℚ）。 若d = -1，ℚ(√-1)是高斯有理数域。 根据d的符号，二次域分为实二次域（d > 0）和虚二次域（d < 0）。 代数整数与整基 二次域中的代数整数是满足某个首一整数系数二次方程的元。具体地，ℚ(√d)的代数整数环O_ ℚ(√d)为： 若d ≡ 2或3 (mod 4)，O = ℤ[ √d ] = {a + b√d | a, b ∈ ℤ}。 若d ≡ 1 (mod 4)，O = ℤ[ (1+√d)/2 ] = {a + b(1+√d)/2 | a, b ∈ ℤ}。 集合{1, √d}或{1, (1+√d)/2}称为整基，是O作为ℤ-模的基。 范数与单位群 对α = x + y√d ∈ ℚ(√d)，其范数定义为N(α) = (x + y√d)(x - y√d) = x² - dy²。范数具有乘性：N(αβ) = N(α)N(β)。 单位群O* 由范数为±1的代数整数组成： 虚二次域（d < 0）的单位群有限，仅含有限个根 of unity（如d = -1时单位为±1, ±i）。 实二次域（d > 0）的单位群是无限循环群，由基本单位生成，即最小大于1的单元ε，使得任意单位可写为±εⁿ（n ∈ ℤ）。 理想类群与类数 二次域的代数整数环是Dedekind整环，理想唯一分解定理可能不成立。理想类群衡量唯一分解的失效程度： 定义分式理想为O的子模，主分式理想由单个元生成。 理想类群Cl(D)为分式理想群模去主分式理想群的商群，其阶h(d)称为类数。 类数h(d) = 1当且仅当O是主理想整环，此时代数整数有唯一分解。类数有限，且虚二次域的类数计算有明确公式（如与二次型类数关联）。 二次域与二次型的关系 二次域的性质与二元二次型紧密相连： 理想类群元素可对应到判别式为D的二次型等价类（其中D为二次域的判别式：D = d若d ≡ 1 mod 4，否则D = 4d）。 类数h(d)等于对应二次型类的类数，这提供了计算类数的组合方法。 二次域的理论为研究代数数论提供了具体模型，其类数问题、单位群结构等仍是现代数论的核心课题。