量子力学中的Krein空间 基本定义与背景 Krein空间是希尔伯特空间的推广，由一个配备不定内积的完备向量空间构成。具体来说，Krein空间 \( \mathcal{K} \) 是一个复向量空间，配备一个厄米形式（内积）\( [ \cdot, \cdot ] \)，满足以下条件： 空间可分解为正子空间 \( \mathcal{K} + \) 和负子空间 \( \mathcal{K} - \) 的直和：\( \mathcal{K} = \mathcal{K} + \oplus \mathcal{K} - \)，其中 \( \mathcal{K} + \) 和 \( \mathcal{K} - \) 在 \( [ \cdot, \cdot ] \) 下分别是正定和负定的（即对非零向量，内积恒正或恒负）。 子空间 \( \mathcal{K} + \) 和 \( \mathcal{K} - \) 在由内积诱导的范数下是完备的（即它们自身是希尔伯特空间）。 这种结构允许内积不具正定性，从而能描述量子系统中涉及“负概率”或非物理态的问题，例如在PT对称量子力学或规范场量化中。 不定内积与基本性质 Krein空间的内积 \( [ x, y] \) 是线性的且满足 \( [ x, y] = \overline{[ y, x]} \)，但允许 \( [ x, x] < 0 \)。关键工具是 基本对称算子 \( J \)，定义为 \( J = P_ + - P_ - \)，其中 \( P_ \pm \) 是到 \( \mathcal{K}_ \pm \) 的投影。通过 \( J \)，可定义一个正定内积 \( \langle x, y \rangle_ J := [ Jx, y ] \)，使 \( \mathcal{K} \) 成为希尔伯特空间。这允许将Krein空间的分析问题转化为希尔伯特空间框架下的问题。 在量子力学中的应用背景 在量子理论中，Krein空间用于处理内积不定的系统，例如： PT对称量子力学 ：当哈密顿量 \( H \) 不是厄米的，但满足PT对称性时，系统可能存在于Krein空间，其中内积通过C算子（一种类似 \( J \) 的算子）调整为正定。 规范场量化 ：在Gupta-Bleuler量化中，态空间包含非物理的负范态，Krein空间提供数学基础以分离物理子空间。 这些应用依赖于Krein空间的分解能力，将物理态（正范）与非物理态（负范）分离。 与希尔伯特空间的对比 与希尔伯特空间不同，Krein空间中的算子理论更复杂： 自伴算子定义为满足 \( [ Ax, y] = [ x, Ay ] \)，但谱可能包含非实数特征值。 需引入 J-自伴算子 （即关于 \( J \) 自伴）来保证实谱，这在PT对称系统中至关重要。 例如，若哈密顿量 \( H \) 是J-自伴的，则可通过调整内积使系统等价于标准量子力学。 具体例子：PT对称谐振子 考虑哈密顿量 \( H = p^2 + x^2(ix)^\epsilon \)（\( \epsilon \in \mathbb{R} \)），在 \( \epsilon \geq 0 \) 时，\( H \) 在希尔伯特空间中非厄米，但在Krein空间中是J-自伴的。通过构造合适的C算子（与 \( J \) 相关），可定义新内积 \( \langle x, y \rangle_ C = [ Cx, y ] \)，使 \( H \) 在新内积下厄米，从而恢复概率守恒。 数学扩展与物理意义 Krein空间理论还涉及： 收缩算子理论 ：用于描述非酉演化系统的散射。 指标定理 ：关联正负子空间的维数差，在拓扑量子场论中出现。 其核心价值在于提供框架，将非标准量子系统“规范化”，同时揭示内积不定性在物理中的深层作用（如黑洞辐射中的负能态）。