数学课程设计中的建模过程教学 第一步：理解数学建模的本质与教育价值 数学建模过程教学，是指在数学课程设计中，系统地将“数学建模”的完整过程（而非仅仅是其结论或应用）作为核心教学内容和方法。其本质是引导学生经历“从现实世界到数学世界，再回到现实世界”的循环过程。 核心定义 ：数学建模是用数学的语言、符号、图形和工具来描述、模拟、解决现实世界问题的一种方法论。它是一个动态的、迭代的过程。 教育价值 ： 连接抽象与具体 ：帮助学生深刻理解数学概念、方法和思想的现实根源与应用价值，打破“数学无用”的误解。 培养综合能力 ：不仅是数学技能，更强调问题识别、简化假设、模型构建、计算求解、结果分析与验证、模型优化等一系列高阶思维能力和解决问题的综合素养。 促进知识整合 ：一个真实的建模问题往往需要综合运用代数、几何、概率统计等多个数学分支的知识，促使学生构建完整的知识网络。 第二步：拆解数学建模的完整循环过程 课程设计的核心是让学生清晰地体验建模的每一个环节。这个过程通常被分解为以下几个关键步骤： 现实情境，提出问题 ：从一个真实的、或经过精心设计的、贴近学生生活经验的情境出发，明确要解决的核心问题。例如，“如何为学校食堂设计一个最有效率的排队窗口方案？”或“预测本城市下个月的共享单车需求量”。 简化假设，明确变量 ：引导学生分析现实问题的复杂性，识别主要因素，忽略次要因素，做出合理的简化和假设。这是将混沌现实转化为可处理数学问题的关键一步。例如，在排队问题中，可以假设“学生到达食堂的时间是均匀的”或“每个窗口的打饭速度相同”。 建立模型 ：运用已有的数学知识（如方程、函数、图形、概率等），建立描述问题中各变量之间关系的数学表达式或结构。例如，用排队论模型或随机过程模型来描述排队系统。 求解模型 ：通过数学运算、逻辑推理、数据分析或计算机模拟等方法，求解已建立的数学模型，得出数学上的结果。 分析检验 ：将数学模型求解得到的数学结果，翻译回现实情境，解释其实际含义。并检验结果是否合理，是否与实际情况相符。例如，计算出的最优窗口数是3.5个，这显然不合理，需要回到第2步调整假设。 评估优化 ：评估模型的优缺点、适用条件和局限性。思考“如果条件改变，模型该如何调整？”从而可能开启新一轮的建模循环，对模型进行改进和优化。 第三步：在课程中设计建模教学活动的策略 将上述过程融入课程，需要精细的设计： 选题梯度 ：从简单的、涉及单一知识点的建模问题（如“根据身高和体重判断体型”）开始，逐步过渡到复杂的、综合性的项目（如“设计一个最优的校园快递配送路线”）。 脚手架搭建 ：在学生初始接触建模时，教师需要提供大量支持。例如，提供问题情境和明确的假设框架，引导学生思考建模方向；随着学生能力提升，逐步减少支持，让学生独立完成更多环节。 强调过程而非仅结果 ：评估时应重点关注学生在“提出假设”、“模型构建的合理性”、“结果分析的深度”等方面的表现，而不仅仅是答案的正确性。可以使用过程性评估工具，如建模报告、小组讨论记录、反思日志等。 工具整合 ：鼓励学生使用图形计算器、几何画板、Excel、Python等信息技术工具进行数据可视化、数值计算和模拟，将学生从繁琐的计算中解放出来，更专注于模型的思想和逻辑。 合作学习 ：建模问题通常具有开放性，适合小组合作。通过讨论、辩论和分工，可以激发更多创意，并培养学生的沟通协作能力。 第四步：案例分析——初中“一次函数”的建模教学设计 以学习“一次函数y=kx+b”为例，展示如何融入建模过程： 情境与问题 ：展示某打车软件的计费规则截图（起步价+里程价）。提出问题：“如果我们知道了起步价和每公里价格，能否建立一个数学模型，帮助我们根据行程距离快速计算车费？” 假设与变量 ：引导学生讨论并做出简化假设，如：不考虑堵车造成的时长费、路桥费等。明确变量：自变量x（行驶里程，单位：公里），因变量y（总车费，单位：元）。 建立模型 ：分析计费规则，引导学生发现车费由固定部分（起步价）和可变部分（里程价×里程）组成，从而抽象出数学模型：y = kx + b（其中b为起步价，k为每公里单价）。 求解模型 ：给定一组具体的起步价和单价（如b=10, k=2），让学生计算不同里程下的车费（代入x求y）。 分析检验 ：将计算结果与实际打车软件的计算结果进行对比，验证模型的正确性。讨论模型在什么情况下会失效（如长途可能有的折扣、夜间加价等），这正引向了模型的优化。 评估优化 ：提出问题：“如果某城市有夜间服务费，模型该如何修改？”引导学生思考在y=kx+b的基础上加上一个常数项，或者设计分段函数，从而为后续学习埋下伏笔。 通过这样的设计，学生学习的就不再是一个抽象的公式，而是一个有生命力、能解决实际问题的工具，深刻理解了函数的参数k和b的现实意义。