拓扑共轭的系统具有完全相同的动力学性质（如周期点集的结构、拓扑熵等），只是点的“标签”不同。这是拓扑动力学中最强的等价形式。

拓扑动力系统 拓扑动力系统是遍历理论的一个基本框架，它研究的是在拓扑空间上由连续映射或连续流所驱动的系统的渐近行为。与保测动力系统不同，它不依赖于一个先验的测度，而是专注于系统的拓扑性质，如回复性、周期性和拓扑熵。 第一步：核心定义 一个 拓扑动力系统 由一个二元组 \((X, T)\) 构成，其中： \(X\) 是一个 紧致豪斯多夫空间 。紧致性确保了极限点的存在性，而豪斯多夫性质（即任意两个不同的点都有不相交的邻域）保证了点的分离性，这是许多拓扑结论的标准设置。 \(T: X \to X\) 是一个 连续映射 。它描述了系统在时间上的演化。 如果考虑连续时间（即流），则系统由一个单参数连续变换族 \(\{T^t\}_ {t \in \mathbb{R}}\) 描述，满足 \(T^0 = id\)（恒等映射）和 \(T^{s+t} = T^s \circ T^t\)，但为简化起见，我们通常从离散时间系统 \((X, T)\) 开始。 第二步：基本概念——轨道与不变集 在拓扑动力系统中，一个核心研究对象是 轨道 。 一个点 \(x \in X\) 的 正向轨道 定义为集合 \(O^+(x) = \{x, T(x), T^2(x), \dots\}\)。 其 闭包 \(\overline{O^+(x)}\) 包含了该点及其轨道所有极限点的集合，它描述了该点在未来演化中可能无限接近的所有状态。 一个集合 \(A \subset X\) 被称为 T-不变集 ，如果 \(T(A) \subset A\)。如果 \(A\) 是闭的且非空的，那么 \((A, T|_ A)\) 本身也构成一个拓扑动力系统，称为 子系统 。系统的动力学性质常常通过研究其子系统来理解。 第三步：回复性与非游荡点 拓扑动力学关注点的长期行为，其中一个基本概念是 回复性 。 一个点 \(x \in X\) 称为 回复点 ，如果对于它的任意邻域 \(U\)，总存在某个正整数 \(n \geq 1\)，使得 \(T^n(x) \in U\)。这意味着该点的轨道会无限次地回到其起始点的任意附近。 一个更广泛的概念是 非游荡点 。点 \(x\) 称为非游荡点，如果对于它的任意邻域 \(U\)，存在某个 \(n \geq 1\)，使得 \(T^n(U) \cap U \neq \emptyset\)。这意味着从 \(x\) 附近出发的某些点，在经过一段时间后，会回到 \(U\) 中。所有非游荡点的集合记为 \(\Omega(T)\)。回复点一定是非游荡点，反之则不一定。 第四步：极小性与拓扑传递性 我们可以从整体上描述系统的“不可约”性。 系统 \((X, T)\) 称为 极小系统 ，如果 \(X\) 中不存在非空的真闭不变子集。等价地，系统中每一个点的轨道都在 \(X\) 中稠密（即 \(\overline{O^+(x)} = X\)）。这意味着系统无法被分解为更小的、动力学上自封闭的部分。 一个稍弱但非常重要的性质是 拓扑传递性 。系统是拓扑传递的，如果存在某个点 \(x \in X\)，其正向轨道在 \(X\) 中稠密（即 \(\overline{O^+(x)} = X\)）。等价地，对于任意两个非空开集 \(U\) 和 \(V\)，总存在 \(n \geq 0\) 使得 \(T^n(U) \cap V \neq \emptyset\)。这表示系统的演化最终会将任何区域与任何其他区域连接起来。 第五步：拓扑共轭与结构稳定性 为了比较两个不同的拓扑动力系统，我们引入等价关系。 两个系统 \((X, T)\) 和 \((Y, S)\) 称为 拓扑共轭 的，如果存在一个同胚（即双向连续的满射）\(h: X \to Y\)，使得 \(h \circ T = S \circ h\)。这个等式意味着下图交换： \[ \begin{array}{ccc} X & \xrightarrow{T} & X \\ h\downarrow & & \downarrow h \\ Y & \xrightarrow{S} & Y \end{array} \] 拓扑共轭的系统具有完全相同的动力学性质（如周期点集的结构、拓扑熵等），只是点的“标签”不同。这是拓扑动力学中最强的等价形式。 拓扑动力系统为研究动力系统的定性行为提供了一个纯粹基于拓扑的框架，它是连接遍历理论（基于测度）和光滑动力系统（基于微分结构）的重要桥梁。