复变函数的唯一性定理

1. 基本概念回顾
   首先需要明确解析函数的定义：在区域D内每一点都可微的复变函数称为解析函数。解析函数具有极强的刚性，这个性质为唯一性定理奠定了基础。

2. 唯一性定理的表述
   若两个函数f(z)和g(z)在区域D内解析，且在D内存在一个收敛点列{zn}（zn→a∈D），使得对所有n都有f(zn)=g(zn)，那么在整个区域D内f(z)≡g(z)。

3. 点列要求的特殊性
   定理要求的点列必须满足两个关键条件：一是点列收敛于区域D内的某点a，二是点列中的所有点都使函数值相等。特别地，若两个解析函数在D的某个非空开子集上相等，则它们在整个D上恒等。

4. 零点孤立性引理
   作为唯一性定理的重要推论，若非零解析函数f(z)在点a处为零，则存在a的一个邻域，在该邻域内除a外f(z)不再有零点。这说明解析函数的零点是孤立的，不会形成聚点。

5. 唯一性定理的证明思路
   证明基于解析函数的局部性质：若解析函数在一点a的任意小邻域内恒为零，则通过泰勒展开可证其所有阶导数为零。再结合区域连通性，通过连锁法将这一性质扩展到整个区域。

6. 应用示例：恒等式的延拓
   若已知sin²z+cos²z=1在实轴上成立，由于等式两边都是整函数（在全平面解析），根据唯一性定理，该等式必然在整个复平面成立。这是将实变函数恒等式推广到复变情形的重要理论依据。

7. 唯一性定理的强化形式
   定理可强化为：若存在点列{zn}在D内收敛于边界点，且f(zn)=g(zn)，只要该点列在D内有聚点，则同样可推出f≡g。这体现了解析函数在边界上的性质可以决定其内部性质。

8. 与其它定理的关系
   唯一性定理与最大模原理、柯西积分公式等共同构成解析函数刚性特征的核心内容。它解释了为什么解析函数只要在很小一部分区域上被确定，其在整个定义域上的行为就完全确定。