Γ函数 Γ函数是阶乘概念在实数和复数域上的推广，它为分析学提供了重要的工具。下面我们逐步展开讲解。 1. 阶乘的推广需求 阶乘函数 \( n ! \) 仅对非负整数 \( n \) 有定义，但数学中常需处理非整数值的"阶乘"。 问题：能否找到一个光滑函数 \( \Gamma(z) \)，在正整数点满足 \( \Gamma(n+1) = n ! \)，且定义域覆盖更广的数域？ 欧拉通过积分形式解决了这一问题。 2. Γ函数的积分定义 对任意复数 \( z \) 满足 \( \operatorname{Re}(z) > 0 \)，定义： \[ \Gamma(z) = \int_ 0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \] 为何要求实部大于零？因为当 \( t \to 0^+ \) 时，\( t^{z-1} \) 的奇异性需要 \( \operatorname{Re}(z-1) > -1 \) 保证积分收敛，而 \( e^{-t} \) 在无穷远处的衰减性确保积分收敛。 3. 基本性质验证 递归关系 ：通过分部积分可得： \[ \Gamma(z+1) = z \Gamma(z) \] 证明： \[ \Gamma(z+1) = \int_ 0^{\infty} t^z e^{-t} dt = \left[ -t^z e^{-t} \right]_ 0^{\infty} + z \int_ 0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt = z \Gamma(z) \] 与阶乘的联系 ：直接计算 \( \Gamma(1) = \int_ 0^{\infty} e^{-t} dt = 1 \)，结合递归关系得： \[ \Gamma(n+1) = n ! \quad \text{对正整数 } n 成立 \] 特殊值 ：\( \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} \)，可通过变量代换 \( t = u^2 \) 转化为高斯积分证明。 4. 解析延拓拓展定义域 积分定义仅适用于 \( \operatorname{Re}(z) > 0 \)，但利用递归关系可将其延拓到全复平面（除非正整数外）： \[ \Gamma(z) = \frac{\Gamma(z+1)}{z} \] 例如，在 \( -1 < \operatorname{Re}(z) < 0 \) 区域，通过右式的 \( \Gamma(z+1) \) 定义左式，依此类推。 延拓后的 Γ 函数是亚纯函数，在 \( z = 0, -1, -2, \ldots \) 处有一阶极点。 5. 其他表示形式 魏尔斯特拉斯无穷乘积 ： \[ \frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_ {n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n} \] 其中 \( \gamma \) 为欧拉常数。此形式明确显示出极点分布。 函数方程 ：满足余元公式 \( \Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \)，反映了与三角函数的内在联系。 6. 应用场景 概率论 ：伽马分布的概率密度函数直接包含 Γ 函数。 数论 ：用于研究黎曼 ζ 函数的函数方程。 物理学 ：在量子力学和统计力学中频繁出现（如黑体辐射公式）。 通过以上步骤，Γ 函数从简单的阶乘推广需求出发，逐步展现出其深刻的解析性质和广泛的应用价值。