随机变量的方差与协方差 我们从一个随机变量的波动程度开始理解。方差衡量的是随机变量取值与其期望（平均值）的偏离程度。对于一个随机变量X，其期望记为E[ X]。方差Var(X)定义为偏离程度的平方的期望：Var(X) = E[ (X - E[ X])²]。展开计算，常使用公式Var(X) = E[ X²] - (E[ X ])²。方差越大，表示随机变量的取值越分散；方差越小，则取值越集中在期望附近。 接下来，我们考虑两个随机变量之间的关系。协方差度量的是两个随机变量协同变化的趋势。对于随机变量X和Y，它们的协方差Cov(X, Y)定义为：Cov(X, Y) = E[ (X - E[ X])(Y - E[ Y])]。同样，可以展开为Cov(X, Y) = E[ XY] - E[ X]E[ Y ]。如果X和Y倾向于同时大于或同时小于各自的平均值，则协方差为正；如果一个大于均值而另一个小于均值，则协方差为负；如果它们的变化没有线性关联，则协方差接近零。 协方差的值受随机变量本身量纲的影响，不便于直接比较关联的强弱。因此我们引入相关系数，它是对协方差进行标准化后的指标。X和Y的相关系数ρ定义为：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / √(Var(X)Var(Y))。相关系数的取值范围是[ -1, 1 ]，其绝对值的大小反映了线性关系的强度，符号反映了关系的方向。ρ=1表示完全正相关，ρ=-1表示完全负相关，ρ=0表示不存在线性相关。 方差和协方差在代数运算下具有重要的性质。对于随机变量X, Y和常数a, b，有：Var(aX + b) = a²Var(X)；Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y)。更一般地，对于多个随机变量的线性组合，其方差的计算会涉及到所有两两之间的协方差：Var(∑a_ i X_ i) = ∑∑ a_ i a_ j Cov(X_ i, X_ j)。这个性质在投资组合风险分析等领域有核心应用。 最后，我们讨论一个特殊情况：当随机变量X和Y相互独立时，有E[ XY] = E[ X]E[ Y ]，因此Cov(X, Y) = 0，即独立必然导致不相关。但反过来，不相关（协方差为零）不一定意味着独立，因为不相关只保证没有线性关系，但变量间可能存在其他非线性关系。只有当随机变量服从联合正态分布时，不相关与独立才是等价的。