等距算子 等距算子是遍历理论中连接测度论与泛函分析的重要概念。我们先从最基础的线性代数概念开始。 线性算子与范数 在线性代数中，一个向量空间上的线性算子 \( T \) 是一个满足 \( T(ax + by) = aT(x) + bT(y) \) 的映射。如果我们给这个向量空间赋予一个“长度”概念，即范数 \(\| \cdot \|\)，那么我们可以讨论算子是否保持长度。 等距算子的定义 在赋范空间（例如希尔伯特空间或勒贝格空间）中，一个线性算子 \( U \) 被称为 等距算子 ，如果它保持范数不变。即，对于空间中的任意向量 \( f \)，都有： \[ \|Uf\| = \|f\| \] 直观上，你可以将等距算子想象为“旋转”或“反射”之类的操作，它可能会改变向量的方向，但绝不会改变其长度。 在希尔伯特空间中的特例 在希尔伯特空间（一个带有内积的完备赋范空间）中，等距性有一个更强的等价条件。一个算子 \( U \) 是等距的，当且仅当它保持内积不变：\( \langle Uf, Ug \rangle = \langle f, g \rangle \) 对所有 \( f, g \) 成立。这意味着算子不仅保持长度，还保持向量间的“夹角”。 与酉算子的关系 如果一个等距算子 \( U \) 还是满射（即值域等于整个空间），那么它被称为 酉算子 。酉算子是可逆的，并且其逆算子 \( U^{-1} \) 等于其伴随算子 \( U^* \)。在有限维空间中，所有等距算子都是酉算子。但在无限维空间中，存在非满射的等距算子。 遍历理论中的等距算子：柯西变换 遍历理论的核心是研究保测动力系统。对于一个概率空间 \( (X, \mathcal{B}, \mu) \) 和一个保测变换 \( T: X \to X \)，我们可以自然地在其函数空间上诱导出一个算子。这个算子 \( U_ T \) 作用于平方可积函数空间 \( L^2(\mu) \) 上，其定义如下： \[ (U_ T f)(x) = f(Tx) \] 由于 \( T \) 是保测的，可以证明这个算子 \( U_ T \) 是一个 等距算子 。它被称为与变换 \( T \) 相关联的 柯西变换 。 柯西变换的重要性 柯西变换 \( U_ T \) 是遍历理论中的一座关键桥梁。它将点动力系统 \( (X, T, \mu) \) 的研究转化为对线性算子 \( U_ T \) 在函数空间上的研究。许多动力系统的性质（如遍历性、混合性）都可以通过分析算子 \( U_ T \) 的谱性质来刻画。例如，一个系统是遍历的，当且仅当常数函数是 \( U_ T \) 的唯一的固定点（即特征值1对应的特征空间是一维的）。 冯·诺依曼遍历定理的算子视角 你已学过的冯·诺依曼平均遍历定理在函数空间 \( L^2(\mu) \) 中的表述，其核心就是研究柯西变换 \( U_ T \) 的均值 \( \frac{1}{n}\sum_ {k=0}^{n-1} U_ T^k \)。该定理断言，这个算子序列强收敛到到 \( U_ T \) 的固定点空间上的正交投影算子。这一定理的证明严重依赖于 \( U_ T \) 是一个等距算子（进而是酉算子，如果 \( T \) 可逆）这一事实。