代数簇的射影嵌入 代数簇的射影嵌入是代数几何中的一个核心概念，它研究的是如何将一个抽象的代数簇放入到一个射影空间中去，从而利用射影空间的优良性质来研究原簇的几何。 动机：为什么需要嵌入？ 我们首先有一个仿射代数簇，它由仿射空间 \(\mathbb{A}^n\) 中的一组多项式方程的零点集定义。然而，仿射空间在几何上并不“完备”，例如，两条平行直线在仿射空间中可能没有交点。 射影空间 \(\mathbb{P}^n\) 是对仿射空间的一种紧化。在射影空间中，两条平行直线必将相交于一个“无穷远点”。这使得射影空间具有更完美的几何性质，特别是它是紧致的（在复情形下是紧流形）。 因此，将一个仿射簇放入射影空间，相当于给它添加了“无穷远点”，使其变得“完备”。这极大地便利了几何性质的研究，例如交点理论会变得更为简洁。 从仿射到射影：一个直观例子 考虑仿射平面 \(\mathbb{A}^2\) 上的仿射直线（仿射簇）\(L: y = x + 1\)。 射影平面 \(\mathbb{P}^2\) 由齐次坐标 \([ X: Y: Z]\) 表示（不能全为0，且 \([ X: Y: Z] = [ \lambda X: \lambda Y: \lambda Z]\) 对于任意 \(\lambda \neq 0\)）。仿射平面可以嵌入到射影平面中，通过映射 \((x, y) \mapsto [ x: y: 1 ]\)。其补集 \(Z=0\) 是“无穷远直线”。 为了将直线 \(L\) 射影化，我们令 \(x = X/Z\), \(y = Y/Z\)，代入方程： \(Y/Z = X/Z + 1\)。两边乘以 \(Z\) 得到： \(Y = X + Z\)，即 \(X - Y + Z = 0\)。这是一个齐次方程，它在 \(\mathbb{P}^2\) 中定义了一个射影簇 \(\overline{L}\)。 这个射影簇 \(\overline{L}\) 就是原仿射直线 \(L\) 的射影闭包。它由两部分点组成： 对应原仿射直线的点：\(Z=1\) 时的点，即 \([ x: x+1: 1 ]\)。 一个无穷远点：令 \(Z=0\)，代入齐次方程得 \(X - Y = 0\)，即 \(X=Y\)。所以无穷远点为 \([ X: X: 0] = [ 1: 1: 0 ]\)。 这样，我们成功地将仿射直线 \(L\) 嵌入到了射影平面 \(\mathbb{P}^2\) 中，得到了一个紧致的、完整的几何对象 \(\overline{L}\)，它同构于射影直线 \(\mathbb{P}^1\)。 射影簇与射影态射 一个 射影簇 是指能够嵌入到某个射影空间 \(\mathbb{P}^n\) 中，并由一组齐次多项式的公共零点集定义的代数簇。 研究射影簇之间的映射时，我们自然要求它们由齐次多项式给出，这样的映射称为 射影态射 。这保证了映射在整体上是定义良好的。 射影嵌入的抽象定义与万有性质 对于一个抽象的代数簇 \(X\)，一个 射影嵌入 是一个态射 \(i: X \to \mathbb{P}^n\)，这个态射是一个同构，将 \(X\) 同构地映射到 \(\mathbb{P}^n\) 中的一个闭子簇（即一个射影子簇）。 射影嵌入的存在性是一个深刻的几何问题。一个核心的判别法是 丰沛线丛 的存在性。简单来说，线丛可以理解为簇上“函数”的推广。如果一个线丛 \(\mathcal{L}\) 具有足够多的全局截面（即类似多项式的全局函数），那么这些截面就可以用来定义一个映射到射影空间。如果这个线丛是“非常丰沛”的，那么这个映射就是一个闭嵌入。 射影嵌入的重要性与应用 完备性 ： 射影簇是完备的，这意味着它像紧致流形一样，具有良好的整体性质。例如，态射从完备簇到仿射簇必为常值映射。 除子理论 ： 在射影簇上，韦伊除子（由子簇定义）和卡蒂埃除子（由局部方程定义）是等价的，这简化了除子的计算。 相交理论 ： 在射影簇中，两个子簇如果维数适当，它们的相交数总是有定义的，并且满足贝祖定理等优美的结论。 上同调理论 ： 射影簇的上同调群具有有限维性等优良性质，这是塞尔等人发展的重要结果。 总结来说，代数簇的射影嵌入是将一个可能“不完整”的几何对象置于一个“完整”的背景空间中的过程。这个过程不仅使几何图像更清晰，而且为我们提供了研究簇的深刻几何性质（如亏格、相交数等）的强有力工具。一个代数簇能否射影嵌入，以及如何嵌入，本身就反映了该簇内在的几何和代数信息。