范畴论中的自然变换
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基础概念回顾与动机
在范畴论中，一个范畴由对象和对象间的箭头（态射）构成。函子则是范畴间的映射：若 \(\mathcal{C}\) 和 \(\mathcal{D}\) 是范畴，函子 \(F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) 将每个 \(\mathcal{C}\)-对象映射为 \(\mathcal{D}\)-对象，每个 \(\mathcal{C}\)-态射映射为 \(\mathcal{D}\)-态射，并保持恒等态射和复合运算。
自然变换的动机：考虑两个平行函子 \(F, G: \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)。我们想描述如何从 \(F\) 到 \(G\) 的转换，且这种转换需与范畴结构协调。例如，在向量空间范畴中，一个线性变换的自然性需与基的选择无关。 -
自然变换的严格定义
一个自然变换 \(\eta: F \Rightarrow G\) 由以下构成：- 对每个 \(\mathcal{C}\)-对象 \(X\)，一个 \(\mathcal{D}\)-态射 \(\eta_X: F(X) \to G(X)\)（称为 \(\eta\) 在 \(X\) 处的分量）。
- 对每个 \(\mathcal{C}\)-态射 \(f: X \to Y\)，需满足自然性条件：
\[ G(f) \circ \eta_X = \eta_Y \circ F(f) \]
即下图交换：
\[ \begin{array}{ccc} F(X) & \xrightarrow{\eta_X} & G(X) \\ F(f) \downarrow & & \downarrow G(f) \\ F(Y) & \xrightarrow{\eta_Y} & G(Y) \end{array} \]
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具体例子：列表与双函子
- 例1（列表的逆转）：设 \(\mathcal{C} = \mathbf{Set}\)（集合范畴），函子 \(F = \mathrm{Id}\)（恒等函子），\(G(X) = X^*\)（所有有限列表的集合）。定义 \(\eta_X: X \to X^*\) 为将元素映射为单元素列表。对任意函数 \(f: X \to Y\)，有 \(\eta_Y \circ f = (f^*) \circ \eta_X\)，其中 \(f^*\) 映射列表的每个元素。这是自然变换。
- 例2（行列式）：考虑函子 \(\mathrm{GL}_n, (-)^\times: \mathbf{CRing} \to \mathbf{Grp}\)（从交换环范畴到群范畴）。行列式 \(\det: \mathrm{GL}_n \Rightarrow (-)^\times\) 是自然变换，因对环同态 \(f: R \to S\)，有 \(f(\det(M)) = \det(f(M))\)。
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自然同构与泛性质
若每个分量 \(\eta_X\) 是同构态射，则 \(\eta\) 是自然同构。此时函子 \(F\) 与 \(G\) 等价。
自然变换与泛性质紧密相关：例如，若 \(F\) 是遗忘函子，\(G\) 是自由群函子，单位自然变换 \(\eta: \mathrm{Id} \Rightarrow F \circ G\) 体现了自由群的泛性质。 -
高阶范畴视角
所有小范畴构成范畴 \(\mathbf{Cat}\)，其态射是函子。但 \(\mathbf{Cat}\) 实为2-范畴：对象是范畴，1-态射是函子，2-态射是自然变换。自然变换的垂直复合与水平复合满足交换律，形成严格2-范畴结构。 -
在计算与逻辑中的应用
- 程序变换：在函数式编程中，自然变换对应多态函数的协调性（如
map f . reverse = reverse . map f）。 - 类型论：自然变换模型多态函数，确保参数化类型的操作与类型参数无关。
- 数据库理论：模式迁移可通过函子建模，自然变换表示迁移间的数据转换一致性。
- 程序变换：在函数式编程中，自然变换对应多态函数的协调性（如