里斯-费舍尔定理 背景：L²空间与傅里叶级数 在数学分析中，我们研究函数的傅里叶级数。一个自然的问题是：对于一个给定的平方可积函数（即 ∫|f(x)|² dx < ∞ 的函数），它的傅里叶级数在什么意义下收敛到函数本身？这里的“平方可积函数”构成了一个重要的函数空间，称为L²空间。 定理的陈述 里斯-费舍尔定理是实变函数和泛函分析中的一个基本结果，它建立了L²空间与平方可和数列空间ℓ²之间的一种深刻等价关系。定理分为两部分： 第一部分（费舍尔，1907）： 对于任意一个平方可和的复数序列 {cₙ}（即 ∑|cₙ|² < ∞），存在一个L²空间中的函数f，使得{cₙ}恰好是f关于某个标准正交系（例如三角函数系）的傅里叶系数。 第二部分（里斯，1907）： 对于L²空间中的任意函数f，其傅里叶系数序列 {cₙ} 是平方可和的（即 ∑|cₙ|² < ∞）。 定理的核心内涵与推论 将两部分结合起来，里斯-费舍尔定理断言：映射 f ↦ {cₙ} 是L²空间与ℓ²空间之间的一个 等距同构 。 等距 ：它保持了“长度”。具体来说，它满足帕塞瓦尔恒等式：∫|f(x)|² dx = ∑|cₙ|²。这意味着函数在L²空间中的范数（“能量”）等于其傅里叶系数在ℓ²空间中的范数。 同构 ：这意味着作为希尔伯特空间，L²和ℓ²在结构上是完全相同的。所有在L²空间中进行的运算（如加法、数乘、内积）都可以通过这个映射完全对应到ℓ²空间中的运算。 重要意义与应用 傅里叶级数的收敛性 ：该定理直接 implies 对于任何L²函数，其傅里叶级数在L²范数意义下收敛到函数本身。也就是说，当项数N趋于无穷时，∫|f(x) - S_ N(x)|² dx → 0，其中S_ N(x)是傅里叶级数的部分和。这是一种比逐点收敛更弱的收敛性，但适用于所有平方可积函数，非常强大和普适。