复变函数的边界性质 复变函数的边界性质研究解析函数在定义域边界附近的行为特征，是复分析中连接区域内部性质与边界性质的重要桥梁。这一理论的核心在于探讨：当点从区域内部趋近边界时，解析函数会表现出怎样的规律性？ 首先，我们需要明确边界点的分类。对于复平面上的区域Ω，其边界点可分为两类：正则边界点（函数在该点附近有良好定义）和奇性边界点。一个基本问题是：给定边界上的函数值，能否唯一确定区域内的解析函数？ 这引出了 唯一性定理 的重要推论：如果两个解析函数在区域Ω的某个边界弧段上相等，且该弧段包含极限点，则它们在整个Ω上恒等。这表明边界值在某种程度上"控制"了区域内部的函数行为。 接下来我们考虑 边界对应原理 。当解析函数实现两个区域之间的共形映射时，它能否将边界连续地映射到边界？在大多数情况下，如果边界是若尔当曲线（简单闭曲线），则共形映射可以延拓到边界，并保持边界的连续对应。这一性质在解决狄利克雷问题中具有重要应用。 更为深刻的是 法图定理 ，它研究了单位圆盘上解析函数在边界上的性质。法图发现，即使函数在边界上不连续，在"几乎处处"的意义下，函数在边界上仍然存在径向极限。具体来说，如果f(z)在单位圆盘内解析且有界，则对于几乎所有的边界点e^(iθ)，当z沿半径趋近e^(iθ)时，极限lim(r→1-)f(re^(iθ))存在。 普朗克雷定理 进一步推广了这一思想，证明了有界解析函数的非切向极限几乎处处存在。这意味着，不仅沿半径方向，沿任何停留在某个角锥内的路径趋近边界点，极限都存在且相等。这一结果为研究函数在边界上的性质提供了更强有力的工具。 边界性质的研究自然导向 H^p空间理论 ，即研究单位圆盘上满足特定增长条件的解析函数空间。哈代空间中的函数具有优异的边界性质：它们几乎处处有非切向极限，这些边界函数属于L^p空间，且可以通过积分条件来刻画。 最后， 边界行为与奇点分布 密切相关。如果函数在边界点附近无界，该点往往是函数的奇点。通过研究函数在边界附近的增长阶，可以推断奇点的性质，这为奇点分析提供了重要手段。