量子力学中的Weyl序列 基本定义与物理背景 Weyl序列是量子力学中研究连续谱本征函数近似表示的重要数学工具。在物理上，当系统具有连续谱（如自由粒子的能量本征态）时，本征函数不属于希尔伯特空间（如平面波 \(e^{ipx/\hbar}\) 不可平方积分），无法直接描述概率幅。Weyl序列通过构造一列希尔伯特空间中的函数 \(\{f_ n\}\) 来逼近连续谱本征态，使得对任意观测算符 \(A\)，期望值 \(\langle f_ n, A f_ n\rangle\) 在 \(n \to \infty\) 时收敛到经典对应值。 数学构造与核心性质 设 \(H\) 是自伴算符，其谱包含连续部分。若存在单位向量序列 \(\{\psi_ n\} \subset \mathcal{H}\) 满足： \[ \lim_ {n\to\infty} \| (H - \lambda) \psi_ n \| = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R}), \] 则称 \(\{\psi_ n\}\) 是 \(H\) 对应于谱值 \(\lambda\) 的 Weyl序列 。此条件等价于 \(\psi_ n\) 近似满足本征方程，尽管 \(\lambda\) 可能不是离散本征值。关键性质包括： 谱的刻画 ：\(\lambda\) 属于 \(H\) 的谱 \(\sigma(H)\) 当且仅当存在对应的Weyl序列（Weyl准则）。 局部化特性 ：序列 \(\psi_ n\) 在物理空间或动量空间中逐渐脱离束缚（如自由粒子波包在空间上扩散），体现连续谱态的非局域性。 与谱定理的联系 通过谱测度 \(dE(\lambda)\)，Weyl序列可解释为对连续谱投影的近似。对任意区间 \(I \subset \sigma(H)\)，若 \(\lambda \in I\)，则 \(\langle \psi_ n, E(I) \psi_ n \rangle \to 1\)，表明 \(\psi_ n\) 的能量越来越集中于 \(\lambda\) 附近。这为连续谱的测量概率提供了数学表述。 典型例子：自由粒子 考虑一维自由粒子 \(H = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\)，其连续谱为 \( [ 0, \infty)\)。对任意 \(p \neq 0\)，取高斯波包序列： \[ \psi_ n(x) = \left(\frac{n}{\pi}\right)^{1/4} e^{ipx/\hbar} e^{-n x^2/2}, \] 其动量中心在 \(p\)，能量期望值 \(\langle H \rangle_ n \to \frac{p^2}{2m}\)。计算可得 \(\| (H - \frac{p^2}{2m}) \psi_ n \| \sim O(1/\sqrt{n}) \to 0\)，验证其为Weyl序列。 在散射理论中的应用 在时间依赖散射中，Weyl序列用于构造入射态和出射态。例如，对Møller算子 \(\Omega_ \pm\)，若 \(\psi_ \text{in}\) 是自由哈密顿量 \(H_ 0\) 的Weyl序列对应的态，则 \(\Omega_ + \psi_ \text{in}\) 是完整哈密顿量 \(H\) 的Weyl序列，关联渐近自由态与相互作用态。 推广与物理意义 Weyl序列可推广至奇异连续谱情形（如一类准晶体模型），其中序列需适应分形结构。物理上，它解释了为何连续谱态虽无直接概率幅，但仍可通过极限过程实现实验观测（如粒子探测器测量到的有限宽动量峰）。