马尔可夫链的遍历性 第一步：理解遍历性的直观背景 马尔可夫链的遍历性（Ergodicity）是描述链在长期行为中能否“忘记初始状态”的重要性质。若一个链是遍历的，则无论从哪个初始状态出发，经过足够长的时间后，其状态分布会趋近于唯一的平稳分布，且时间平均等于空间平均。这一性质在统计物理、蒙特卡洛方法中至关重要。 第二步：严格定义遍历性所需条件 遍历性需要同时满足以下两个条件： 不可约性 ：链的所有状态互通（已学概念），即从任意状态出发可到达任何其他状态。 非周期性 ：所有状态的最大公约数为1（已学概念），避免状态因周期循环无法收敛。 正常返性 ：所有状态是正常返的（已学概念），即从状态 \(i\) 出发返回 \(i\) 的期望时间有限。 第三步：遍历性的数学表述 若马尔可夫链满足以上条件，则存在唯一的平稳分布 \(\pi\)，且对任意初始状态 \(i\) 和状态 \(j\)，有： \[ \lim_ {n \to \infty} P_ {ij}^{(n)} = \pi_ j, \] 其中 \(P_ {ij}^{(n)}\) 是 \(n\) 步转移概率。同时，对于链的样本路径 \(\{X_ n\}\)，时间平均几乎必然收敛于空间平均： \[ \lim_ {N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_ {n=1}^N f(X_ n) = \mathbb{E} \pi[ f(X) ], \] 其中 \(f\) 是任意有界函数，\(\mathbb{E} \pi\) 表示对平稳分布 \(\pi\) 求期望。 第四步：遍历性的实际意义 遍历性保证了： 长期观测的统计量（如样本均值）可替代整体分布的期望。 在MCMC方法中，只需一条足够长的链即可估计目标分布，无需多次重启链。 物理系统中，遍历性解释了微观运动与宏观统计规律的联系。 第五步：反例与注意事项 若链不满足遍历性（如存在多个连通分量、周期或零常返状态），则长期行为可能依赖初始状态，或无法收敛到唯一分布。验证遍历性需严格检查不可约性、周期性和常返性条件。